Преобразуем исходное уравнение:

$\frac{|x - 6| + a - 6}{x ^2 - 10x + a ^2} = 0 = сильно $$\begin{cases} |x - 6| = 6 - a \\[6pt] x ^2 - 10x + a ^2 не = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x = a \\[6pt] x = 12 - a \end{cases}$$ . a меньше или = 6, x ^2 - 10x + a ^2 не = 0. \end{array} \right.$

Чтобы уравнение имело два различных корня, числа a и $12 - a$ должны быть различны, поэтому $a не = 12 - a$ откуда $a не = 6$ Таким образом, $a меньше 6$ и ни одно из чисел a и $12 - a$ не должно являться корнем уравнения $x ^2 - 10x + a ^2 = 0$ Подставляя эти числа в уравнение $x ^2 - 10x + a ^2$ найдем, при каких a они являются корнями:
1)  из $a ^2 - 10a + a ^2 = 0$ получаем $a = 0$ или $a = 5$
2)  из $( 12 - a ) ^2 - 10 \cdot ( 12 - a ) + a ^2 = 0$ получаем:

$2a ^2 - 14a + 24 = 0 = сильно a ^2 - 7a + 12 = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a = 3, a = 4. \end{array} \right.$

Тем самым, $a меньше 6$ $a не = 0$ $a не = 3$ $a не = 4$ $a не = 5$

Ответ: $( - бесконечность ; 0 ) \cup ( 0; 3 ) \cup ( 3; 4 ) \cup ( 4; 5 ) \cup ( 5; 6 )$

Примечание.
Решая аналогичную задачу 562192, мы привели более длинное графическое решение.