Умножим обе части уравнения на 2, получим:

$2a ^2 - 2ax - 4x ^2 - x - 4a + \abs2a + 5x = 0$

Положим $t = 5x + 2a$ тогда $x = \frac{t - 2a}{5}$ причем каждому значению x соответствует ровно одно значение t и наоборот. Уравнение примет вид:

$2a ^2 - 2a \cdot $\frac{t - 2a}{5}$ - 4 \cdot $\frac{( t - 2a ) ^2}{25}$ - $\frac{t - 2a}{5}$ - 4a + \abst = 0 = сильно$
$ = сильно 50a ^2 - 10a ( t - 2a ) - 4 ( t ^2 - 4at + 4a ^2 ) - 5 ( t - 2a ) - 100a + 25 \abst = 0 = сильно$
$ = сильно 50a ^2 - 10at + 20a ^2 - 4t ^2 + 16at - 16a ^2 - 5t + 10a - 100a + 25 \abst = 0 = сильно$
$ = сильно 4t ^2 - 6at + 5t - 54a ^2 + 90a - 25 \abst = 0$

Это уравнение должно иметь ровно три корня. При $t меньше 0$ имеем:

$4t ^2 - 6at + 5t - 54a ^2 + 90a + 25t = 0 = сильно 2t ^2 + ( 15 - 3a ) t + ( 45a - 27a ^2 ) = 0$ $4t ^2 - 6at + 5t - 54a ^2 + 90a + 25t = 0 = сильно$
$ = сильно 2t ^2 + ( 15 - 3a ) t + ( 45a - 27a ^2 ) = 0$

при $t больше или = 0$ имеем:

$4t ^2 - 6at + 5t - 54a ^2 + 90a - 25t = 0 = сильно 2t ^2 - ( 10 + 3a ) t + ( 45a - 27a ^2 ) = 0$ $4t ^2 - 6at + 5t - 54a ^2 + 90a - 25t = 0 = сильно$
$ = сильно 2t ^2 - ( 10 + 3a ) t + ( 45a - 27a ^2 ) = 0$

В одном случае мы должны получить два корня на соответствующем промежутке t, в другом  — один. В обоих случаях дискриминанты должны быть неотрицательны. Вычислим их:

$D_1 = ( 15 - 3a ) ^2 - 8 ( 45a - 27a ^2 ) = 225 - 90a + 9a ^2 - 360a + 216a ^2 =$
$= 225a ^2 - 450a + 225 = 225 ( a ^2 - 2a + 1 ) = 225 ( a - 1 ) ^2$ $D_1 = ( 15 - 3a ) ^2 - 8 ( 45a - 27a ^2 ) =$
$= 225 - 90a + 9a ^2 - 360a + 216a ^2 = 225a ^2 - 450a + 225 =$
$= 225 ( a ^2 - 2a + 1 ) = 225 ( a - 1 ) ^2$ $D_1 = ( 15 - 3a ) ^2 - 8 ( 45a - 27a ^2 ) =$
$= 225 - 90a + 9a ^2 - 360a + 216a ^2 =$
$= 225a ^2 - 450a + 225 =$
$= 225 ( a ^2 - 2a + 1 ) = 225 ( a - 1 ) ^2$

В этом случае $t = \frac{ - 15 + 3a \pm 15 ( a - 1 )}{4}$ откуда: $t_1 = - 3a$ $t_2 = \frac{9a - 15}{2}$
Для второго уравнения получим:

$D_2 = ( 10 + 3a ) ^2 - 8 ( 45a - 27a ^2 ) = 100 + 60a + 9a ^2 - 360a + 216a ^2 =$
$= 225a ^2 - 300a + 100 = 25 ( 9a ^2 - 12a + 4 ) = 25 ( 3a - 2 ) ^2$ $D_2 = ( 10 + 3a ) ^2 - 8 ( 45a - 27a ^2 ) =$
$= 100 + 60a + 9a ^2 - 360a + 216a ^2 = 225a ^2 - 300a + 100 =$
$= 25 ( 9a ^2 - 12a + 4 ) = 25 ( 3a - 2 ) ^2$ $D_2 = ( 10 + 3a ) ^2 - 8 ( 45a - 27a ^2 ) =$
$= 100 + 60a + 9a ^2 - 360a + 216a ^2 =$
$= 225a ^2 - 300a + 100 =$
$= 25 ( 9a ^2 - 12a + 4 ) = 25 ( 3a - 2 ) ^2$

Тогда $t = \frac{10 + 3a \pm 5 ( 3a - 2 )}{4}$ откуда $t_3 = $\frac{9}{2}$ a$ $t_4 = 5 - 3a$
Запишем условия на знаки. Сразу заметим, что $t_1 = - 3a меньше 0$ а $t_3 = $\frac{9}{2}$ a больше или = 0$ При любом $a не = 0$ будут выполнены либо оба этих условия, либо ни одного. Корни $t_2 = \frac{9a - 15}{2}$ и $t_4 = 5 - 3a$ так же отличаются знаком, и потому при $a не = \frac{5}{3}$ подойдут либо оба корня, либо ни одного. Значит, во всех случаях, кроме $a = 0$ и $a = \frac{5}{3}$ число корней четно. Осталось проверить эти значения.
При $a = 0$ имеем: $t_1 больше или = 0$ $t_2 меньше 0$ $t_3 меньше или = 0$ $t_4 меньше или = 0$ Уравнение имеет три корня.
При $a = \frac{5}{3}$ имеем: $t_1 меньше 0$ остальные корни неотрицательны, уравнение имеет три корня.
Рассмотрим случаи совпадения корней. Корни разных уравнений совпасть не могут, корни одного уравнения могут совпасть, если $D = 0$ Значит, требуется проверить $a = 1$ и $a = \frac{2}{3}$
При $a = 1:$ $t_1 = t_2 = - 3 меньше 0$ $t_3 = $\frac{9}{2}$ больше 0$ $t_4 = 2 больше 0$   — три корня.
При $a = $\frac{2}{3}$ :$ $t_1 = - 2 меньше 0$ $t_2 = - $\frac{9}{2}$ меньше 0$ $t_3 = t_4 = 3 больше 0$   — три корня.

Ответ: $a = 0$ $a = \frac{2}{3}$ $a = 1$ $a = \frac{5}{3}$