[рис.] Пусть точки x1 и x2  — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)
Очевидно, что выполняются равенства: $x_1 ^3 + ax_1 ^2 + bx_1 + c=0$ $x_2 ^3 + ax_2 ^2 + bx_2 + c=0$
Из последнего равенства: $c= - x_2 ^3 - ax_2 ^2 - bx_2. ( * )$

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x1, либо x2 будет корнем кратности 2. Корень x2 таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x1.

Значит, $x ^3 + ax ^2 + bx + c= ( x - x_1 ) ^2 ( x - x_2 )$ Но тогда:

$f ( x ) = ( x - x_1 ) ^2 ( x - x_2 ) = ( x ^2 - 2x_1x + x_1 ^2 ) ( x - x_2 ) =x ^3 - 2x_1x ^2 + x_1 ^2 x - x_2x ^2 + 2x_1x_2x - x_1 ^2 x_2 =$ $f ( x ) = ( x - x_1 ) ^2 ( x - x_2 ) = ( x ^2 - 2x_1x + x_1 ^2 ) ( x - x_2 ) =$
$=x ^3 - 2x_1x ^2 + x_1 ^2 x - x_2x ^2 + 2x_1x_2x - x_1 ^2 x_2 =$ $f ( x ) = ( x - x_1 ) ^2 ( x - x_2 ) =$
$= ( x ^2 - 2x_1x + x_1 ^2 ) ( x - x_2 ) =$
$=x ^3 - 2x_1x ^2 + x_1 ^2 x - x_2x ^2 + 2x_1x_2x - x_1 ^2 x_2 =$

$=x ^3 + ( - 2x_1 - x_2 ) x ^2 + ( x_1 ^2 + 2x_1x_2 ) x - x_1 ^2 x_2$

$a= - 2x_1 - x_2;b=x_1 ^2 + 2x_1x_2;c= - x_1 ^2 x_2$

Теперь составим уравнение касательной к графику функции $f ( x ) =x ^3 + ax ^2 + bx + c,c меньше 0$ в точке (x2; 0). Это уравнение имеет вид: $y=y_M + f' ( x_2 ) \cdot ( x - x_2 )$ или $y=f' ( x_2 ) \cdot ( x - x_2 )$ где $f' ( x_2 ) =3x_2 ^2 + 2ax_2 + b$
Итак, уравнение касательной: $y= ( 3x_2 ^2 + 2ax_2 + b ) \cdot ( x - x_2 )$
По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

$( 3x_2 ^2 + 2ax_2 + b ) \cdot ( - x_2 ) =c = сильно - 3x_2 ^3 - 2ax_2 ^2 - bx_2=c$

Но в соответствии с равенством (*) получим:

$ - 3x_2 ^3 - 2ax_2 ^2 - bx_2= - x_2 ^3 - ax_2 ^2 - bx_2 = сильно - 2x_2 ^3 =ax_2 ^2$

x2 ≠ 0, поэтому a  =  −2x2.
Это  — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a  =  −2x1 − x2, следовательно,

$ - 2x_1 - x_2= - 2x_2 = сильно x_2=2x_1 ( ** )$

Теперь используем ранее полученные равенства: $b=x_1 ^2 + 2x_1x_2$ и $c= - x_1 ^2 x_2$ $b=x_1 ^2 + 4x_1 ^2 =5x_1 ^2$ $c= - x_1 ^2 \cdot 2x_1= - 2x_1 ^3$
S(AMN)  =  1, поэтому

$\frac{1}{2} \left| x_2 - x_1 | \cdot ( - c ) =1 = сильно \left| 2x_1 - x_1 | \cdot 2x_1 ^3 =2 = сильно \left| x_1 | \cdot 2x_1 ^3 =2$

Из последнего равенства ясно, что x1 > 0. Если это так, то $2x_1 в степени ( 4 ) =2 = сильно x_1=1$ Но тогда

$b=5x_1 ^2 =5;c= - 2x_1 ^3 = - 2; x_2=2x_1=2;a= - 2x_2= - 2 \cdot 2= - 4$

Ответ: a  =  −4, b  =  5, c  =  −2.