Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна):

$2 \cos 2x - 8 ( a + 1 ) \cos x + ( 4a ^2 + 8a - 14 ) больше 0$

Обозначим $\cos x=t$ $ - 1 меньше или = t меньше или = 1:$

$4t ^2 - 2 - 8 ( a + 1 ) t + ( 4a ^2 + 8a - 14 ) больше 0$

$t ^2 - 2 ( a + 1 ) t + ( a ^2 + 2a - 4 ) больше 0$
$( t - a - 1 ) ^2 - 5 больше 0$
$|t - a - 1| больше $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Это неравенство должно выполняться при всех t из отрезка $[ - 1;1 ]$
Если $ - 2 меньше или = a меньше или = 0$ то неравенство не выполняется, например, при $t=0$
Если $a больше 0$ то $t - a - 1 меньше 0$ при всех t из отрезка $[ - 1;1 ]$ и $|t - a - 1|=a + 1 - t$ поэтому нужно, чтобы $a больше $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Если $a меньше - 2$ то $t - a - 1 больше 0$ при всех t из отрезка $[ - 1;1 ]$ и $|t - a - 1|=t - a - 1$ поэтому нужно, чтобы $a меньше - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 2$

Ответ: $a меньше - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента - 2$ или $a больше $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$