Пусть $t = \cos 3x$ тогда $\sin ^2 3x = 1 - t ^2$ причем $ - 1 меньше или = t меньше или = 1$ Пусть, далее, $\sqrt{аргумента: a + 1} аргумента = b$ тогда $b больше или = 0$ и $a + 1 + 2 $\sqrt{аргумента: a + 1}$ аргумента + 1= b ^2 + 2b + 1 = ( b + 1 ) ^2$ Обозначим, наконец, $c=b + 1$ и заметим, что в силу неотрицательности b справедливо неравенство $c больше или = 1$ Исходная задача свелась к следующей: необходимо найти все значения параметра с, при каждом из которых множество значений функции $h ( t ) = \frac{ - 2t + c}{ - t ^2 + 1 + c ^2}$ при $ - 1 меньше или = t меньше или = 1$ содержит отрезок [2; 3].
Заметим, что разность $1 - t ^2$ неотрицательна при $ - 1 меньше или = t меньше или = 1$ а значит, знаменатель дроби не меньше 1. Следовательно, функция $h ( t )$ непрерывна, а тогда отрезок [2; 3] лежит во множестве ее значений тогда и только тогда, когда уравнения $h ( t ) = 2$ и $h ( t ) = 3$ имеют решения, удовлетворяющие условию $ - 1 меньше или = t меньше или = 1$
Рассмотрим эти уравнения:

$\frac{ - 2t + c}{ - t ^2 + 1 + c ^2} = 2 = сильно 2t ^2 - 2t - ( 2c ^2 - c + 2 ) =0$
$\frac{ - 2t + c}{ - t ^2 + 1 + c ^2} = 3 = сильно 3t ^2 - 2t - ( 3c ^2 - c + 3 ) =0$

Поскольку $c больше или = 1$ справедливы оценки: $2c ^2 - c + 2 = c ( 2c - 1 ) + 2 больше или = 3$ $3c ^2 - c + 3 = c ( 3c - 1 ) + 3 больше или = 5$ Тем самым, свободные члены квадратных трехчленов $p ( t ) = 2t ^2 - 2t - ( 2c ^2 - c + 2 )$ и $q ( t ) = 3t ^2 - 2t - ( 3c ^2 - c + 3 )$ отрицательны, а значит, их графики пересекают ось ординат в точках с отрицательной абсциссой. Ветви соответствующих парабол направлены вверх, их вершины лежат ниже оси абсцисс на прямых $t= \frac{1}{2}$ и $t= \frac{1}{3}$ соответственно. Из этого следует, что указанные параболы будут пересекать отрезок $[ - 1; 1 ]$ оси абсцисс хотя бы в одной точке тогда и только тогда, когда $p ( - 1 ) больше или = 0$ и $q ( - 1 ) больше или = 0$ одновременно. Имеем:

$$$\begin{cases} 2 + 2 - ( 2c ^2 - c + 2 ) больше или = 0 \\[6pt] 3 + 2 - ( 3c ^2 - c + 3 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2c ^2 - c - 2 меньше или = 0 \\[6pt] 3c ^2 - c - 2 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2c ^2 - c - 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше или = c меньше или = 1 \end{cases}$$ . \undersetc больше или = 1\mathop = сильно c=1$ $$$\begin{cases} 2 + 2 - ( 2c ^2 - c + 2 ) больше или = 0 \\[6pt] 3 + 2 - ( 3c ^2 - c + 3 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2c ^2 - c - 2 меньше или = 0 \\[6pt] 3c ^2 - c - 2 меньше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2c ^2 - c - 2 меньше или = 0 \\[6pt] - $\frac{2}{3}$ меньше или = c меньше или = 1 \end{cases}$$ . \undersetc больше или = 1\mathop = сильно c=1$

Тогда $b=0$ откуда $a= - 1$

Ответ: a  =  −1.