Пусть $f ( x ) =2x ^3 + 9x + 3|x + a - 2| + 2|2x - a + 2| - 16$ Функция f непрерывна, а ее производная $f' ( x ) =2 \cdot 3x ^2 + 9\pm 3\pm 2 \cdot 2$ положительна при любом случае раскрытия модулей. Следовательно, функция f возрастает. Тогда и вся левая часть заданного неравенства возрастает функцией как сумма возрастающих функций. Поэтому неравенство будет выполняться для всех значений x из отрезка [−2; 1] тогда и только тогда, когда оно выполнено в точке x  =  1. Имеем:

$2 + 9 + 3|a - 1| + 2|a - 4| - 17 меньше или = 0 = сильно 3|a - 1| + 2|a - 4| меньше или = 6 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 3 ( a - 1 ) + 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит [ 4; + бесконечность ) , 3 ( a - 1 ) - 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит [ 1; 4 ) , - 3 ( a - 1 ) - 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит ( - бесконечность ; 1 ) \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше или = $\frac{17}{5}$ при a принадлежит [ 4; + бесконечность ) , a меньше или = 1 при a принадлежит [ 1; 4 ) , a больше или = 1 при a принадлежит ( - бесконечность ; 1 ) \end{array} \right. . = сильно a=1$ $2 + 9 + 3|a - 1| + 2|a - 4| - 17 меньше или = 0 = сильно 3|a - 1| + 2|a - 4| меньше или = 6 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 3 ( a - 1 ) + 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит [ 4; + бесконечность ) , 3 ( a - 1 ) - 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит [ 1; 4 ) , - 3 ( a - 1 ) - 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит ( - бесконечность ; 1 ) \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше или = $\frac{17}{5}$ при a принадлежит [ 4; + бесконечность ) , a меньше или = 1 при a принадлежит [ 1; 4 ) , a больше или = 1 при a принадлежит ( - бесконечность ; 1 ) \end{array} \right. . = сильно a=1$ $2 + 9 + 3|a - 1| + 2|a - 4| - 17 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно 3|a - 1| + 2|a - 4| меньше или = 6 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} 3 ( a - 1 ) + 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит [ 4; + бесконечность ) , 3 ( a - 1 ) - 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит [ 1; 4 ) , - 3 ( a - 1 ) - 2 ( a - 4 ) меньше или = 6 при a принадлежит ( - бесконечность ; 1 ) \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} a меньше или = $\frac{17}{5}$ при a принадлежит [ 4; + бесконечность ) , a меньше или = 1 при a принадлежит [ 1; 4 ) , a больше или = 1 при a принадлежит ( - бесконечность ; 1 ) \end{array} \right. . = сильно a=1$

[рис.]
Ответ: $a=1$

Примечание.
Неравенство $2 + 9 + 3|a - 1| + 2|a - 4| меньше или = 6$ можно решить графически. Обозначим левую часть неравенства $g ( a )$ построим график функции $y=g ( a )$ и отметим, что эта функция принимает наименьшее значение в точке $a=1$ причем $g ( 1 ) = 0$ Во всех остальных точках $g ( a ) больше 0$ Следовательно, $a=1$   — единственное решение неравенства.