а)  Допустим, 20 школьников получили по две карточки с числом 20, по пять школьников получили красные или синие карточки с единицей и по два школьника  — красные или синие карточки с нулем. Тогда среднее по каждому цвету составит

$\frac{20 \cdot 20 + 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0}{27} =15$

а общее среднее

$\frac{20 \cdot 20 + 10 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{34} = $\frac{410}{34}$ меньше 15$

б)  Если бы оказалось так, то сумма всех названных чисел составила бы 34 · 9  =  306. Если бы карточек какого-то цвета было 21 или больше, то сумма на них была бы не меньше

21 · 15  =  315 > 305,

а обладатели этих карточек вместе назвали бы не меньше, чем сумму на этих карточках. Значит, карточек каждого цвета не более 20. Тогда есть не более 6 человек, имеющих карточки обоих цветов. Заметим, что карточек одного из цветов (например, красного) не менее $\frac{34}{2} =17$ а карточек другого цвета не менее 34 − 20  =  14. Тогда сумма на красных карточках не менее 17 · 15, сумма на синих не менее 14 · 15, а потому общая сумма не менее 31 · 15  =  465. Все числа общей суммы будут названы, кроме максимум 6 чисел, каждое из которых не более 20. Поэтому общая сумма названых чисел будет не менее

465 − 20 · 6  =  345 > 306.

в)  Пусть а  — сумма на карточках тех школьников, которые получили одну карточку, b  — сумма наибольших чисел у тех школьников, которые получили по две карточки, с  — сумма наименьших чисел у тех школьников, которые получили по две карточки. Заметим, что средние по каждому цвету в отдельности равны 15, поэтому общее среднее всех чисел также = 15. Всего была выдана 51 карточка. Значит, общая сумма чисел на карточках равна

a + b + c  =  51 · 15  =  765.

При этом a + b  =  34S. Значит,

$S= $\frac{a + b}{34}$ = $\frac{765 - c}{34}$ больше или = $\frac{765 - 17 \cdot 20}{34}$ больше или = $\frac{425}{34}$ =12,5$

Это значение достигается если, например, 17 школьников получили по две разноцветные карточки с числами 20, 8 школьников получили только красные карточки с суммой чисел на них, = й 35 (например, 20, 15, 0, 0, 0, 0, 0, 0) и 9 школьников получили только синие карточки с суммой чисел на них = й 50 (например, 20, 20, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 0).

Ответ: а) 20 школьников получили по две карточки с числом 20, по пять школьников получили красные или синие карточки с единицей и по два школьника  — красные или синие карточки с нулем; б) нет; в) 12,5.