Пусть в городе А писали тестирование а человек, тогда в городе B писали тестирование (51 − a) человек, и пусть переехавший учитель получил на тестировании t баллов. Пусть также всего учителя и города А набрали Sa баллов, а из города В  — Sb баллов.
а)  Если средний балл в городе А после пересчета вырос в два раза, то:

$\frac{S_a - t}{a - 1} =2 \cdot $\frac{S_a}{a}$ = сильно $\frac{a}{a - 1}$ = \frac{2S_a}{S_a - t}$

Заметим, что

$\frac{a}{a - 1} =1 + $\frac{1}{a - 1}$ меньше или = 1 + $\frac{1}{2 - 1}$ =2$

$\frac{2S_a}{S_a - t} =2 + $\frac{2t}{S_a - t}$ больше 2$

Следовательно, равенство невозможно.
б)  Пусть $\frac{S_b}{51 - a} =1$ тогда из условия получаем:

$\frac{S_a - t}{a - 1} =1,1 \cdot $\frac{S_a}{a}$ , ( 1 )$
$\frac{S_b + t}{52 - a} =1,1= $\frac{11}{10}$ . ( 2 )$

Из второго равенства следует, что 52 − a кратно 10. Запишем первое в виде $\frac{S_a - t}{S_a} = \frac{11 ( a - 1 )}{10a}$ откуда $11 ( a - 1 ) меньше 10a = сильно a меньше 11$ Таким образом, a  =  2. Значит, Sb  =  49, следовательно, t  =  6. Имеем:

$\frac{S_a - 6}{S_a} = $\frac{11}{20}$ = сильно 9S_a=120$

Полученное равенство невозможно для целых Sa, поэтому ответ нет.
в)  Пусть $\frac{S_b}{51 - a} =n принадлежит N$ Аналогично пункту б) получаем, что 52 − a кратно 10 и a 
$$$\begin{cases} $\frac{S_a - t}{a - 1}$ =1 \\[6pt] 1 \cdot $\frac{S_a}{a}$ \\[6pt] $\frac{S_b + t}{52 - a}$ = $\frac{11}{10}$ \cdot n \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} S_a - t = $\frac{11}{20}$ \cdot S_a \\[6pt] S_b + t= 55 \cdot n \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} t=6n \\[6pt] 9S_a=120n \end{cases}$$ . = сильно n= \frac{3S_a}{40}$

Таким образом, n кратно 3. Возьмем наименьшее такое n: пусть n  =  3. Тогда Sb  =  147; Sa  =  40, t  =  18, a  =  2.
Покажем, что такой случай возможен. Например, если в городе А писали тест 2 учителя, набрали: 18 и 22 балла. Средний балл до переезда 20 баллов. Если переехал учитель, набравший 18 баллов, то новый средний балл равен 22  — вырос на 10%. Тогда в городе B писали тест 49 учителей. Если все они написали тест на 3, 3..., 3 балла, средний балл до переезда равен 3, а после переезда $( \underbrace3 + 3 + \cdot s + 3_49 троек + 18 ) : 50 = 3,3$   — тоже вырос на 10%.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.