а) Решите уравнение $\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( $\frac{x}{5}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( $\frac{x}{5}$ - $\frac{\pi}{12}$ ) = 2 \sin ( $\frac{x}{5}$ + $\frac{2 \pi}{3}$ ) - 2 \sin ( $\frac{3x}{5}$ + $\frac{\pi}{6}$ )$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ - \pi ; $\frac{\pi}{2}$ ]$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ - \pi ; $\frac{\pi}{2}$ ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Сделаем замену, пусть $t = $\frac{x}{5}$ + \frac{\pi}{6}$ и преобразуем получившееся уравнение:
$\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = 2 \sin ( t + $\frac{\pi}{2}$ ) - 2 \sin ( 3t - $\frac{\pi}{3}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ( \cos t - \cos ( 3t + $\frac{\pi}{6}$ ) ) = сильно$
$ = сильно \cos $\frac{\pi}{3}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \sin $\frac{\pi}{3}$ \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = 0, \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} t + $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, 2t + $\frac{\pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = 2 \sin ( t + $\frac{\pi}{2}$ ) - 2 \sin ( 3t - $\frac{\pi}{3}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ( \cos t - \cos ( 3t + $\frac{\pi}{6}$ ) ) = сильно$
$ = сильно \cos $\frac{\pi}{3}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \sin $\frac{\pi}{3}$ \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = 0, \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} t + $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, 2t + $\frac{\pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = 2 \sin ( t + $\frac{\pi}{2}$ ) - 2 \sin ( 3t - $\frac{\pi}{3}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ( \cos t - \cos ( 3t + $\frac{\pi}{6}$ ) ) = сильно$
$ = сильно \cos $\frac{\pi}{3}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \sin $\frac{\pi}{3}$ \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = 0, \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} t + $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, 2t + $\frac{\pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
Вернемся к исходной переменной, получим:
$\left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{5}$ + $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, $\frac{2x}{5}$ + $\frac{13 \pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{5}$ = $\frac{\pi}{4}$ + \pi k, $\frac{x}{5}$ = - $\frac{\pi}{12}$ + \pi k, $\frac{x}{5}$ = - $\frac{\pi}{3}$ + \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{5 \pi}{4}$ + 5 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{12}$ + 5 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{3}$ + 5 \pi k. \end{array} \right.$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
$ - \pi меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 5 \pi k меньше или = $\frac{\pi}{2}$ = сильно - $\frac{9}{20}$ меньше или = k меньше или = - \frac{3}{20}$
целых значений k нет.
$ - \pi меньше или = - $\frac{5 \pi}{12}$ + 5 \pi k меньше или = $\frac{\pi}{2}$ = сильно - $\frac{7}{60}$ меньше или = k меньше или = \frac{11}{60}$
откуда k = 0. Получаем корень $ - \frac{5 \pi}{12}$
$ - \pi меньше или = - $\frac{5 \pi}{3}$ + 5 \pi k меньше или = $\frac{\pi}{2}$ = сильно $\frac{2}{15}$ меньше или = k меньше или = \frac{13}{30}$
целых значений k нет.
Ответ: а) $\{ $\frac{5 \pi}{4}$ + 5 \pi k, - $\frac{5 \pi}{12}$ + 5 \pi k, - $\frac{5 \pi}{3}$ + 5 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{5 \pi}{12}$
$\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = 2 \sin ( t + $\frac{\pi}{2}$ ) - 2 \sin ( 3t - $\frac{\pi}{3}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ( \cos t - \cos ( 3t + $\frac{\pi}{6}$ ) ) = сильно$
$ = сильно \cos $\frac{\pi}{3}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \sin $\frac{\pi}{3}$ \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = 0, \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} t + $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, 2t + $\frac{\pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = 2 \sin ( t + $\frac{\pi}{2}$ ) - 2 \sin ( 3t - $\frac{\pi}{3}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ( \cos t - \cos ( 3t + $\frac{\pi}{6}$ ) ) = сильно$
$ = сильно \cos $\frac{\pi}{3}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \sin $\frac{\pi}{3}$ \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = 0, \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} t + $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, 2t + $\frac{\pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $\sqrt{аргумента: 2} аргумента \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = 2 \sin ( t + $\frac{\pi}{2}$ ) - 2 \sin ( 3t - $\frac{\pi}{3}$ ) = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ( \cos t - \cos ( 3t + $\frac{\pi}{6}$ ) ) = сильно$
$ = сильно \cos $\frac{\pi}{3}$ \cos ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) - \sin $\frac{\pi}{3}$ \sin ( t - $\frac{\pi}{4}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = сильно$
$ = сильно \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) - 1 ) = 0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos ( t + $\frac{\pi}{12}$ ) = 0, \cos ( 2t + $\frac{\pi}{12}$ ) = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} t + $\frac{\pi}{12}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, 2t + $\frac{\pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$
Вернемся к исходной переменной, получим:
$\left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{5}$ + $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{\pi}{2}$ + \pi k, $\frac{2x}{5}$ + $\frac{13 \pi}{12}$ = \pm $\frac{\pi}{4}$ + 2 \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{x}{5}$ = $\frac{\pi}{4}$ + \pi k, $\frac{x}{5}$ = - $\frac{\pi}{12}$ + \pi k, $\frac{x}{5}$ = - $\frac{\pi}{3}$ + \pi k \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x = $\frac{5 \pi}{4}$ + 5 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{12}$ + 5 \pi k, x = - $\frac{5 \pi}{3}$ + 5 \pi k. \end{array} \right.$
б) Отберем корни при помощи двойных неравенств:
$ - \pi меньше или = $\frac{5 \pi}{4}$ + 5 \pi k меньше или = $\frac{\pi}{2}$ = сильно - $\frac{9}{20}$ меньше или = k меньше или = - \frac{3}{20}$
целых значений k нет.
$ - \pi меньше или = - $\frac{5 \pi}{12}$ + 5 \pi k меньше или = $\frac{\pi}{2}$ = сильно - $\frac{7}{60}$ меньше или = k меньше или = \frac{11}{60}$
откуда k = 0. Получаем корень $ - \frac{5 \pi}{12}$
$ - \pi меньше или = - $\frac{5 \pi}{3}$ + 5 \pi k меньше или = $\frac{\pi}{2}$ = сильно $\frac{2}{15}$ меньше или = k меньше или = \frac{13}{30}$
целых значений k нет.
Ответ: а) $\{ $\frac{5 \pi}{4}$ + 5 \pi k, - $\frac{5 \pi}{12}$ + 5 \pi k, - $\frac{5 \pi}{3}$ + 5 \pi k : k принадлежит Z \}$ б) $ - \frac{5 \pi}{12}$
Правильный ответ:
а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 5 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс 5 Пи k, минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 5 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68802 • Задание №15
Решите неравенство $дробь: числитель: 5\lg в квадрате x минус 1, знаменатель: \lg в квадрате x минус 1 конец д...
ID 71605 • Задание №19
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5, среднее арифм...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №8 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 65880
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65881
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65882
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65883
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...
ID 65884
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая ско...