Решим неравенство методом интервалов:

$4 \cdot $\frac{x ^3 + x ^2}{x ^2 - 2x + 1}$ меньше или = 9 \cdot $\frac{x + 1}{x ^2 - 2x + 1}$ = сильно $\frac{4x ^3 + 4x ^2 - 9x - 9}{( x - 1 ) ^2}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x + 1 ) ( 2x - 3 ) ( 2x + 3 )}{( x - 1 ) ^2}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = - $\frac{3}{2}$ , новая строка - 1 меньше или = x меньше 1, новая строка 1 меньше x меньше или = $\frac{3}{2}$ . \end{array} \right.$ $4 \cdot $\frac{x ^3 + x ^2}{x ^2 - 2x + 1}$ меньше или = 9 \cdot $\frac{x + 1}{x ^2 - 2x + 1}$ = сильно$
$ = сильно $\frac{4x ^3 + 4x ^2 - 9x - 9}{( x - 1 ) ^2}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( x + 1 ) ( 2x - 3 ) ( 2x + 3 )}{( x - 1 ) ^2}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x меньше или = - $\frac{3}{2}$ , новая строка - 1 меньше или = x меньше 1, новая строка 1 меньше x меньше или = $\frac{3}{2}$ . \end{array} \right.$

[рис.]
Ответ: $( - бесконечность ; - $\frac{3}{2}$ ] \cup [ - 1;1 ) \cup ( 1; $\frac{3}{2}$ ]$