Пусть $\log_{2} x = t$ тогда:

$\log_{2} $\frac{4}{x}$ = \log_{2} 4 - \log_{2} x = 2 - t$
$\log_{2} x ^2 = 2 \log_{2} |x| = 2 \log_{2} x = 2t$

Далее находим:

$\frac{4}{t} - ( 2 - t ) меньше или = $\frac{38}{2t}$ = сильно t - 2 - $\frac{15}{t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{t ^2 - 2t - 15}{t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( t + 3 ) ( t - 5 )}{t}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше или = - 3, 0 меньше t меньше или = 5. \end{array} \right.$ $\frac{4}{t} - ( 2 - t ) меньше или = $\frac{38}{2t}$ = сильно t - 2 - $\frac{15}{t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{t ^2 - 2t - 15}{t}$ меньше или = 0 = сильно $\frac{( t + 3 ) ( t - 5 )}{t}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше или = - 3, 0 меньше t меньше или = 5. \end{array} \right.$ $\frac{4}{t} - ( 2 - t ) меньше или = $\frac{38}{2t}$ = сильно t - 2 - $\frac{15}{t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{t ^2 - 2t - 15}{t}$ меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{( t + 3 ) ( t - 5 )}{t}$ меньше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t меньше или = - 3, 0 меньше t меньше или = 5. \end{array} \right.$

Вернемся к исходной переменной, получаем:

$\left[ \begin{array}{l} \log_{2} x меньше или = - 3, 0 меньше \log_{2} x меньше или = 5 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{2} x меньше или = \log_{целая} часть: 2, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 8 , \log_{2} 1 меньше \log_{2} x меньше или = \log_{2} 32 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше x меньше или = $\frac{1}{8}$ , 1 меньше x меньше или = 32. \end{array} \right.$

Ответ: $( 0; $\frac{1}{8}$ ] \cup ( 1; 32 ]$