Решите неравенство: $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2$
💡 Пошаговый разбор и решение:
Представим правую часть неравенства в виде $\lg_|x - 2| |x - 2| ^2$ тогда
$\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = \lg_|x - 2| ( x ^2 - 4x + 4 )$
Применим метод рационализации (открыть), получим:
$\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = \lg_|x - 2| ( x ^2 - 4x + 4 ) = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \\[6pt] |x - 2| не = 1 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 - x ^2 + 4x - 4 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \\[6pt] x не = 1 \\[6pt] x не = 3 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 11 - 3x ^2 ) больше или = 0 . \end{cases}$$$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = \lg_|x - 2| ( x ^2 - 4x + 4 ) = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \\[6pt] |x - 2| не = 1 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 - x ^2 + 4x - 4 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \\[6pt] x не = 1 \\[6pt] x не = 3 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 11 - 3x ^2 ) больше или = 0 . \end{cases}$$$
[рис.]
По свойству модуля (открыть) разность $|x - 2| - 1$ можно заменить на $( x - 1 ) ( x - 3 )$ откуда находим:
$$$\begin{cases} ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 1 \\[6pt] x не = 2 \\[6pt] x не = 3 \\[6pt] ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( 11 - 3x ^2 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$
Ответ: $[ 0; 1 ) \cup ( 3; $\frac{11}{3}$ ]$
Это же решение можно записать несколько иначе.
Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:
$\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$
[рис.]
Ответ: $[ 0; 1 ) \cup ( 3; $\frac{11}{3}$ ]$
$\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = \lg_|x - 2| ( x ^2 - 4x + 4 )$
Применим метод рационализации (открыть), получим:
$\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = \lg_|x - 2| ( x ^2 - 4x + 4 ) = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \\[6pt] |x - 2| не = 1 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 - x ^2 + 4x - 4 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \\[6pt] x не = 1 \\[6pt] x не = 3 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 11 - 3x ^2 ) больше или = 0 . \end{cases}$$$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = \lg_|x - 2| ( x ^2 - 4x + 4 ) = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \\[6pt] |x - 2| не = 1 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 - x ^2 + 4x - 4 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \\[6pt] x не = 1 \\[6pt] x не = 3 \\[6pt] ( |x - 2| - 1 ) ( 11 - 3x ^2 ) больше или = 0 . \end{cases}$$$
[рис.]
По свойству модуля (открыть) разность $|x - 2| - 1$ можно заменить на $( x - 1 ) ( x - 3 )$ откуда находим:
$$$\begin{cases} ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 1 \\[6pt] x не = 2 \\[6pt] x не = 3 \\[6pt] ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( 11 - 3x ^2 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$
Ответ: $[ 0; 1 ) \cup ( 3; $\frac{11}{3}$ ]$
Это же решение можно записать несколько иначе.
Преобразуем неравенство и применим метод рационализации:
$\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$ $\log_{левая} круглая скобка |x - 2| ) ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) больше или = 2 = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 )}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 2 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - 2 десятичный \log |x - 2|}{десятичный \log |x - 2|}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $\frac{десятичный \log ( 4 + 7 x - 2 x ^2 ) - десятичный \log ( x - 2 ) ^2}{десятичный \log |x - 2| - \lg1}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{4 + 7 x - 2 x ^2 - ( x - 2 ) ^2}{|x - 2| - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] 4 + 7 x - 2 x ^2 больше 0 \\[6pt] |x - 2| больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - 3x ^2 + 11x}{( x - 2 ) ^2 - 1}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{ - x ( 3x - 11 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )}$ больше или = 0 \\[6pt] ( 4 - x ) ( 2x + 1 ) больше 0 \\[6pt] x не = 2 \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} 0 меньше или = x меньше 1, 3 меньше x меньше или = $\frac{11}{3}$ . \end{array} \right.$
[рис.]
Ответ: $[ 0; 1 ) \cup ( 3; $\frac{11}{3}$ ]$
Правильный ответ:
$левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка$ $левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 11, знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66142 • Задание №8
а) Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 1 плюс 4 косинус x конец аргумента =1 минус 3 косинус x$
б)...
ID 70360 • Задание №17
Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №15 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 68583
Решите неравенство $левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: x конец дроби...
ID 68584
Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус x конец аргумента меньше дробь: числит...
ID 68585
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше...
ID 68586
Решите неравенство $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x плюс 1...
ID 68587
Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка ум...