Ограничение на х: $x больше - 1$
1.  Пусть $6 - 7 в степени ( x ) меньше 0$   $ = сильно$   $7 в степени ( x ) больше 6$   $ = сильно$   $7 в степени ( x ) больше 7 в степени ( \log ) _76$   $ = сильно$   $x больше \log _76$ тогда $\left| 6 - 7 в степени ( x ) |=7 в степени ( x ) - 6$
На рассматриваемом множестве и при $x больше - 1$ :

$\left| 6 - 7 в степени ( x ) | меньше или = ( 7 в степени ( x ) - 6 ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) = сильно ( 7 в степени ( x ) - 6 ) - ( 7 в степени ( x ) - 6 ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 7 в степени ( x ) - 6 ) ( 1 - \log _6 ( x + 1 ) ) меньше или = 0 = сильно$ $\left| 6 - 7 в степени ( x ) | меньше или = ( 7 в степени ( x ) - 6 ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) = сильно$
$ = сильно ( 7 в степени ( x ) - 6 ) - ( 7 в степени ( x ) - 6 ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 7 в степени ( x ) - 6 ) ( 1 - \log _6 ( x + 1 ) ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно 1 - \log _6 ( x + 1 ) меньше или = 0 = сильно \log _6 ( x + 1 ) больше или = \log _66 = сильно x + 1 больше или = 6 = сильно x больше или = 5$

При $x больше или = 5$ выполняются оба условия: $x больше - 1$ и $6 - 7 в степени ( x ) меньше 0$
Мы получили часть решения исходного неравенства.
2.  Пусть $6 - 7 в степени ( x ) больше или = 0$   $ = сильно$   $7 в степени ( x ) меньше или = 6$   $ = сильно$   $7 в степени ( x ) меньше или = 7 в степени ( \log ) _76$   $ = сильно$   $x меньше или = \log _76$ тогда $\left| 6 - 7 в степени ( x ) |=6 - 7 в степени ( x )$
На рассматриваемом множестве и при $x больше - 1$ :

$\left| 6 - 7 в степени ( x ) | меньше или = ( 7 в степени ( x ) - 6 ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) = сильно ( 6 - 7 в степени ( x ) ) + ( 6 - 7 в степени ( x ) ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 6 - 7 в степени ( x ) ) ( 1 + \log _6 ( x + 1 ) ) меньше или = 0 = сильно$ $\left| 6 - 7 в степени ( x ) | меньше или = ( 7 в степени ( x ) - 6 ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) = сильно$
$ = сильно ( 6 - 7 в степени ( x ) ) + ( 6 - 7 в степени ( x ) ) \cdot \log _6 ( x + 1 ) меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно ( 6 - 7 в степени ( x ) ) ( 1 + \log _6 ( x + 1 ) ) меньше или = 0 = сильно$

$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 ( x + 1 ) меньше или = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 ( x + 1 ) меньше или = \log _6 $\frac{1}{6}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка x + 1 меньше или = $\frac{1}{6}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка x меньше или = - $\frac{5}{6}$ . \end{array} \right.$ $ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 ( x + 1 ) меньше или = - 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 ( x + 1 ) меньше или = \log _6 $\frac{1}{6}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка x + 1 меньше или = $\frac{1}{6}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка x меньше или = - $\frac{5}{6}$ . \end{array} \right.$

С учетом ограничения на x получим:

$\left[ \begin{array}{l} новая строка x=\log _76 , новая строка - 1 меньше x меньше или = - $\frac{5}{6}$ . \end{array} \right.$

Значения $x принадлежит ( - 1; - $\frac{5}{6}$ ]$ удовлетворяют условию $6 - 7 в степени ( x ) больше или = 0$ то есть неравенству $x меньше или = \log _76$ поскольку $\log _76 больше 0$
Итак, решениями исходного неравенства являются элементы множества $( - 1; - $\frac{5}{6}$ ] \cup [ 5; + бесконечность ) \cup \{ \log _76 \}$

Ответ: $( - 1; - $\frac{5}{6}$ ] \cup [ 5; + бесконечность ) \cup \{ \log _76 \}$