Перенесем единицу: $|2x - a| меньше или = |x + 3| - 1$
Построим схематично графики функций $y=|2x - a|$ и $y=|x + 3| - 1$
[рис.]
На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при $\frac{a}{2} меньше или = - 4$ или $\frac{a}{2} больше или = - 2$

1.   $$$\begin{cases} a меньше или = - 8 \\[6pt] |2x - a| меньше или = - x - 4 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} a меньше или = - 8 \\[6pt] 2x - a меньше или = - x - 4 \\[6pt] 2x - a больше или = x + 4 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} a меньше или = - 8 \\[6pt] x меньше или = $\frac{a - 4}{3}$ \\[6pt] x больше или = a + 4. \end{cases}$$$

Решения образуют отрезок длины 1, если $\frac{a - 4}{3} - ( a + 4 ) =1$ откуда $a= - \frac{19}{2}$

2.   $$$\begin{cases} a больше или = - 4 \\[6pt] |2x - a| меньше или = x + 2 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} a больше или = - 4 \\[6pt] 2x - a меньше или = x + 2 \\[6pt] 2x - a больше или = - x - 2 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} a больше или = - 4 \\[6pt] x меньше или = a + 2 \\[6pt] x больше или = $\frac{a - 2}{3}$ . \end{cases}$$$

Решения образуют отрезок длины 1, если $a + 2 - $\frac{a - 2}{3}$ =1$ откуда $a= - \frac{5}{2}$

Ответ: $a= - $\frac{5}{2}$ ,a= - \frac{19}{2}$

Приведем другое решение (автор Александр Соколов).
Изобразим решение неравенства $|2x - a| + 1 меньше или = |x + 3|$ в системе координат $xOa$
Прямые $a=2x$ и $x= - 3$ разбивают плоскость на четыре части, в каждой из которых знаки выражений $( 2x - a )$ и $( x + 3 )$ остаются постоянными.

знак выражения
$( 2x - a )$ | $ + $ | $ - $ | $ - $ | $ + $

знак выражения
$( x + 3 )$ | $ + $ | $ + $ | $ - $ | $ - $

соответствующее
неравенство | $a больше или = x - 2$ | $a меньше или = 3x + 2$ | $a меньше или = x - 4$ | $a\geqslant3x + 4$

[рис.]

Множество точек, являющееся решением неравенства, на рисунке выделены зелёным цветом.
Очевидно, что решения неравенства образуют отрезок длины 1 ровно два раза.
1 случай: отрезок ограничен прямыми $a=3x + 2$ (слева) и $a=x - 2$ (справа).
Найдём соответствующее значение параметра a:

$a=3x + 2= ( x + 1 ) - 2$ откуда $x= - \frac{3}{2}$ и $a= - \frac{5}{2}$

2 случай: отрезок ограничен прямыми $a=x - 4$ (слева) и $a=3x + 4$ (справа).
Найдём соответствующее значение параметра a:

$a=x - 4=3 ( x + 1 ) + 4$ откуда $x= - \frac{11}{2}$ и $a= - \frac{19}{2}$

Ответ: $a= - $\frac{5}{2}$ ,a= - \frac{19}{2}$