[рис.] Преобразуем уравнение:

$x в степени 6 - 6ax в степени 5 + 12a ^2 x в степени 4 - 8a ^3 x ^3 - 7x ^2 + 14ax - 6=0 = сильно ( x ^2 - 2ax ) ^3 - 7 ( x ^2 - 2ax ) - 6=0$ $x в степени 6 - 6ax в степени 5 + 12a ^2 x в степени 4 - 8a ^3 x ^3 - 7x ^2 + 14ax - 6=0 = сильно$
$ = сильно ( x ^2 - 2ax ) ^3 - 7 ( x ^2 - 2ax ) - 6=0$

Пусть $t=x ^2 - 2ax$ тогда

$t ^3 - 7t - 6=0 = сильно ( t + 1 ) ( t ^2 - t - 6 ) =0 = сильно ( t + 1 ) ( t - 3 ) ( t + 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=3,t= - 1,t= - 2. \end{array} \right.$ $t ^3 - 7t - 6=0 = сильно ( t + 1 ) ( t ^2 - t - 6 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( t + 1 ) ( t - 3 ) ( t + 2 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=3,t= - 1,t= - 2. \end{array} \right.$

Функция $t=x ^2 - 2ax$   — квадратичная с положительным старшим коэффициентом, она ограничена снизу (график функции  — парабола с направленными вверх ветвями  — схематично изображен на рисунке). Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение $x ^2 - 2ax=3$ имело два корня, а квадратное уравнение $x ^2 - 2ax= - 1$ не имело корней. То есть необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств:

$$$\begin{cases} ( 2a ) ^2 - 4 \cdot ( - 3 ) больше 0 \\[6pt] ( 2a ) ^2 - 4 \cdot 1 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 4a ^2 + 12 больше 0 \\[6pt] 4a ^2 - 4 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно a ^2 - 1 меньше 0 = сильно - 1 меньше a меньше 1$ $$$\begin{cases} ( 2a ) ^2 - 4 \cdot ( - 3 ) больше 0 \\[6pt] ( 2a ) ^2 - 4 \cdot 1 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 4a ^2 + 12 больше 0 \\[6pt] 4a ^2 - 4 меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно a ^2 - 1 меньше 0 = сильно - 1 меньше a меньше 1$

Ответ: $( - 1; 1 )$