Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы при любом значении y выполнялось условие

$ - 1 меньше или = \cos ( 2x + $\frac{\pi}{3}$ ) \cdot \left|y + $\frac{1}{2}$ | + $\frac{\left|y - \tfrac3}{2}$ |2 \cos x\leqslant1$

Пусть $a= \cos ( 2x + $\frac{\pi}{3}$ ) , b= \frac{1}{2 \cos x}$ где $b не = 0$ Рассмотрим кусочно-⁠линейную функцию $f ( y ) =a\left|y + $\frac{1}{2}$ | + b\left|y - $\frac{3}{2}$ |$ Раскрыв модули, получаем

$f ( y ) = $$\begin{cases} - ( a + b ) y + $\frac{3b - a}{2}$ \\[6pt] при y\leqslant - $\frac{1}{2}$ \\[6pt] ( a - b ) y + $\frac{3b + a}{2}$ \\[6pt] при - $\frac{1}{2}$ меньше или = y меньше или = $\frac{3}{2}$ \\[6pt] ( a + b ) y - $\frac{3b - a}{2}$ \\[6pt] при y больше или = $\frac{3}{2}$ . \end{cases}$$$

Рассмотрим луч $[ $\frac{3}{2}$ ; + бесконечность )$ Если $a + b больше 0$ то на этом луче функция f неограниченно возрастает, а если $a + b меньше 0$ то неограниченно убывает. В обоих случаях найдутся такие значения у, что условие $ - 1 меньше или = f ( y ) \leqslant1$ не выполнено. Следовательно, условие $ - 1 меньше или = f ( y ) \leqslant1$ выполнено для любого y тогда и только тогда, когда выполняется система

$$$\begin{cases} a + b=0 \\[6pt] - 1 меньше или = $\frac{3b - a}{2}$ \leqslant1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a= - b \\[6pt] - $\frac{1}{2}$ меньше или = b меньше или = $\frac{1}{2}$ . \end{cases}$$$

Вернёмся к исходной переменной:

$ - $\frac{1}{2}$ меньше или = $\frac{1}{2 \cos x}$ меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{1}{2 \cos x}$ = - $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2 \cos x}$ = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1, \cos x=1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k,x=2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$ $ - $\frac{1}{2}$ меньше или = $\frac{1}{2 \cos x}$ меньше или = $\frac{1}{2}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $\frac{1}{2 \cos x}$ = - $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2 \cos x}$ = $\frac{1}{2}$ \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \cos x= - 1, \cos x=1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \pi + 2 \pi k,x=2 \pi k, \end{array} \right. . k принадлежит Z$

При $x= \pi + 2 \pi k, k принадлежит Z$ имеем $b= - \frac{1}{2}$ и $a = \cos ( 2 ( \pi + 2 \pi k ) + $\frac{\pi}{3}$ ) = \cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2}$ = - b$   — условия выполнены.
При $x=2 \pi k, k принадлежит Z$ имеем $b= \frac{1}{2}$ и $a = \cos ( 2 \cdot 2 \pi k + $\frac{\pi}{3}$ ) = \cos $\frac{\pi}{3}$ = $\frac{1}{2}$ =b$   — условия не выполнены.
Таким образом, при $x= \pi + 2 \pi k, k принадлежит Z$ при любом y правая часть исходного уравнения по модулю не превосходит 1, значит, существует такое z, что условие задачи будет выполнено.

Ответ: $x= \pi + 2 \pi k, k принадлежит Z$