Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все = что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство $x ^2 - 4|x| - ax + a больше или = - 5$ должно выполняться на всем промежутке $[ - 1;3 ]$ То есть

$x ^2 + ( 4 - a ) x + a + 5 больше или = 0приx принадлежит [ - 1;0 ] иx ^2 - ( 4 + a ) x + a + 5 больше или = 0приx принадлежит [ 0;3 ]$ $x ^2 + ( 4 - a ) x + a + 5 больше или = 0приx принадлежит [ - $
$ - 1;0 ] иx ^2 - ( 4 + a ) x + a + 5 больше или = 0приx принадлежит [ 0;3 ]$ $x ^2 + ( 4 - a ) x + a + 5 больше или = 0приx принадлежит [ - $
$ - 1;0 ] иx ^2 - ( 4 + a ) x + $
$ + a + 5 больше или = 0приx принадлежит [ 0;3 ]$

Теперь заметим, что и наоборот  — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы  — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства:

$1 - ( 4 - a ) + a + 5 больше или = 0$ (верно при $a больше или = - 1$ ),
$a + 5 больше или = 0$ (верно при $a больше или = - 5$ ),
$9 - 3 ( 4 + a ) + a + 5 больше или = 0$ (верно при $a меньше или = 1$ ).

$ - $\frac{( a - 4 ) ^2}{4}$ + a + 5 больше или = 0$ при $\frac{a - 4}{2} принадлежит [ - 1;0 ]$ то есть при $a принадлежит [ 2;4 ]$ (нас не интересует, поскольку уже установлено, что $a принадлежит [ - 1;1 ]$
$ - $\frac{( a + 4 ) ^2}{4}$ + a + 5 больше или = 0$ при $\frac{a + 4}{2} принадлежит [ 0;3 ]$ то есть при $a принадлежит [ - 4;2 ]$ (то есть это обязательно надо проверить, при $a принадлежит [ - 1;1 ]$ указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

$ - a ^2 - 8a - 16 + 4a + 20 больше или = 0$
$ - a ^2 - 4a + 4 больше или = 0$
$a ^2 + 4a + 4 меньше или = 8$
$( a + 2 ) ^2 меньше или = 8$
$a принадлежит [ - 2 - $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента ; - 2 + $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента ]$

Итак, совмещая все ограничения, получаем $a принадлежит [ - 1; - 2 + $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента ]$

Ответ: $a принадлежит [ - 1; - 2 + $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента ]$