Для положительных а выражения $a в степени b - a в степени c$ и $( a - 1 ) ( b - c )$ имеют один знак, а потому

$( x ^2 + x + 1 ) в степени ( $\frac{x + 5}{x + 2}$ ) больше или = ( x ^2 + x + 1 ) в степени 1 = сильно $$\begin{cases} x ^2 + x + 1 больше 0 \\[6pt] ( x ^2 + x + 1 - 1 ) \cdot ( $\frac{x + 5}{x + 2}$ - 1 ) больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно ( x ^2 + x ) \cdot $\frac{3}{x + 2}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x ( x + 1 )}{x + 2}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 меньше x меньше или = - 1, x больше или = 0. \end{array} \right.$

Ответ: $( - 2; - 1 ] \cup [ 0; + бесконечность )$

Приведем другое решение.
Заметим, что при любом значении x

$x ^2 + x + 1= ( x + $\frac{1}{2}$ ) ^2 + $\frac{3}{4}$ больше 0. ( * )$
Значит, обе части неравенства положительны. \log ируем обе части неравенства по основанию 10:

$( x ^2 + x + 1 ) в степени ( $\frac{x + 5}{x + 2}$ ) больше или = x ^2 + x + 1 = сильно десятичный \log ( x ^2 + x + 1 ) в степени ( $\frac{x + 5}{x + 2}$ ) больше или = \lg ( x ^2 + x + 1 ) = сильно$
$ = сильно $\frac{x + 5}{x + 2}$ \cdot \lg ( x ^2 + x + 1 ) - \lg ( x ^2 + x + 1 ) больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \lg ( x ^2 + x + 1 ) \cdot ( $\frac{x + 5}{x + 2}$ - 1 ) больше или = 0 = сильно ( \lg ( x ^2 + x + 1 ) - \lg1 ) \cdot $\frac{3}{x + 2}$ больше или = 0 \underset ( * ) \mathop = сильно$
$\mathop = сильно ( x ^2 + x + 1 - 1 ) \cdot $\frac{1}{x + 2}$ больше или = 0 = сильно $\frac{x ( x + 1 )}{x + 2}$ больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} - 2 меньше x меньше или = - 1, x больше или = 0. \end{array} \right.$

Ответ: $( - 2; - 1 ] \cup [ 0; + бесконечность )$