Умножим числитель и знаменатель дроби в левой части неравенства на положительное выражение $2 в степени x$ затем умножим обе части неравенства на положительное выражение $4 в степени x$ получим:
[рис.]

$\dfrac4 в степени ( - x ) - 51 - 16 \cdot 4 в степени x больше или = 0 = сильно \dfrac1 - 5 \cdot 4 в степени x 1 - 16 \cdot 4 в степени x больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} 4 в степени x меньше \frac{1}{} 16, 4 в степени x больше или = $\frac{1}{5}$ \end{array} \right. . \underset 4 больше 1 \mathop = сильно \left[ \begin{array}{l} x меньше - 2, x больше или = \log_{целая} часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 5 . \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность , - 2 ) \cup [ - \log_{4} 5, + бесконечность )$

Приведём другое решение.
Сделаем замену $y=2 в степени ( - x )$ получим:

$\frac{y ^3 - 5y}{y - \dfrac16y} больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} y не = 0 \\[6pt] $\frac{y ^2 ( y ^2 - 5 )}{y ^2 - 16}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно $\frac{y ^2 - 5}{y ^2 ( y ^2 - 16 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( y - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ) ( y + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента )}{y ^2 ( y - 4 ) ( y + 4 )} больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y меньше - 4, - $\sqrt{5}$ меньше или = y меньше 0 , 0 меньше y меньше или = $\sqrt{5}$ , y больше 4. \end{array} \right.$ $\frac{y ^3 - 5y}{y - \dfrac16y} больше или = 0 = сильно $$\begin{cases} y не = 0 \\[6pt] $\frac{y ^2 ( y ^2 - 5 )}{y ^2 - 16}$ больше или = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $\frac{y ^2 - 5}{y ^2 ( y ^2 - 16 )}$ больше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{( y - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента ) ( y + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента )}{y ^2 ( y - 4 ) ( y + 4 )} больше или = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} y меньше - 4, - $\sqrt{5}$ меньше или = y меньше 0 , 0 меньше y меньше или = $\sqrt{5}$ , y больше 4. \end{array} \right.$

Вернёмся к исходной переменной:

$\left[ \begin{array}{l} 2 в степени ( - x ) меньше - 4, - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше или = 2 в степени ( - x ) меньше 0 , 0 меньше 2 в степени ( - x ) меньше или = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента , 2 в степени ( - x ) больше 4 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 в степени ( - x ) меньше или = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента , 2 в степени ( - x ) больше 4 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} - x меньше или = \log_{2} $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента , - x больше 2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x больше или = - $\frac{1}{2}$ \log_{2} 5, x меньше - 2. \end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l} 2 в степени ( - x ) меньше - 4, - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента меньше или = 2 в степени ( - x ) меньше 0 , 0 меньше 2 в степени ( - x ) меньше или = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента , 2 в степени ( - x ) больше 4 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} 2 в степени ( - x ) меньше или = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента , 2 в степени ( - x ) больше 4 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} - x меньше или = \log_{2} $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента , - x больше 2 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x больше или = - $\frac{1}{2}$ \log_{2} 5, x меньше - 2. \end{array} \right.$

Ответ: $( - бесконечность , - 2 ) \cup [ - $\frac{1}{2}$ \log_{2} 5, + бесконечность )$