Левая часть неравенства определена, если одновременно верны неравенства $5x ^2 - 15 больше 0$ и $x больше 0$ то есть при $x больше \sqrt{3}$ Перенесем $десятичный \log x$ в правую часть, воспользуемся формулой суммы \log ов и возрастанием \log ической функции с основанием, большим 1. Получаем:

$десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) - десятичный \log x меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) = сильно$
$ = сильно десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) + десятичный \log x = сильно $$\begin{cases} 5x ^2 - 15 больше 0 \\[6pt] ( 1 ) x больше 0 \\[6pt] ( 2 ) 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x больше 0 \\[6pt] ( 3 ) 5 x ^2 - 15 меньше ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) x. ( 4 ) \end{cases}$$$ $десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) - десятичный \log x меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) = сильно$
$ = сильно десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) + десятичный \log x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 5x ^2 - 15 больше 0 \\[6pt] ( 1 ) x больше 0 \\[6pt] ( 2 ) 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x больше 0 \\[6pt] ( 3 ) 5 x ^2 - 15 меньше ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) x. ( 4 ) \end{cases}$$$

Заметим, что неравенство  (3) является следствием остальных неравенств, а потому его можно опустить. Действительно, неравенство  (1) означает, что левая часть неравенства  (4) положительна. Правая часть неравенства  (4) на множестве его решений больше левой, а значит, она также положительна: $( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) x больше 0$ Но $x больше 0$ в силу неравенства  (2). Это и означает, что $5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x больше 0$ то есть неравенство  (3) автоматически выполнено на множестве решений системы неравенств  (1), (2) и (4). В  силу сказанного получаем:

$десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) + десятичный \log x = сильно $$\begin{cases} 5x ^2 - 15 больше 0 \\[6pt] x больше 0 \\[6pt] 5 x ^2 - 15 меньше ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] 5 x ^2 - 15 меньше 5 x ^3 + 5 - 10 x ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] x ^3 - 3x ^2 + 4 больше 0. \end{cases}$$$ $десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) + десятичный \log x = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 5x ^2 - 15 больше 0 \\[6pt] x больше 0 \\[6pt] 5 x ^2 - 15 меньше ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) x \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] 5 x ^2 - 15 меньше 5 x ^3 + 5 - 10 x ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] x ^3 - 3x ^2 + 4 больше 0. \end{cases}$$$

Разложим на множители выражение $x ^3 - 3x ^2 + 4$ :

$x ^3 - 3x ^2 + 4 = ( x ^3 + x ^2 ) - 4 ( x ^2 - 1 ) = x ^2 ( x + 1 ) - 4 ( x - 1 ) ( x + 1 ) =$
$= ( x + 1 ) ( x ^2 - 4x + 4 ) = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ^2$ $x ^3 - 3x ^2 + 4 = ( x ^3 + x ^2 ) - 4 ( x ^2 - 1 ) =$
$= x ^2 ( x + 1 ) - 4 ( x - 1 ) ( x + 1 ) =$
$= ( x + 1 ) ( x ^2 - 4x + 4 ) = ( x + 1 ) ( x - 2 ) ^2$

При $x больше \sqrt{3}$ сумма $x + 1$ положительна, а потому

$$$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] ( x + 1 ) ( x - 2 ) ^2 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] ( x - 2 ) ^2 больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x больше $\sqrt{3}$ \\[6pt] x не = 2. \end{cases}$$$

Ответ: $( $\sqrt{3}$ ; 2 ) \cup ( 2; + бесконечность )$

Приведем другое решение:
Воспользуемся свойствами \log ов и выполним = сильные преобразования:

$десятичный \log ( 5 x ^2 - 15 ) - десятичный \log x меньше десятичный \log ( 5 x ^2 + $\frac{5}{x}$ - 10 x ) = сильно \lg5 + \lg ( x ^2 - 3 ) - десятичный \log x меньше \lg5 + десятичный \log $\frac{x ^3 + 1 - 2x ^2}{x}$ = сильно$
$ = сильно \lg ( x ^2 - 3 ) - десятичный \log x меньше десятичный \log ( x ^3 + 1 - 2x ^2 ) - десятичный \log x = сильно $$\begin{cases} \lg ( x ^2 - 3 ) меньше десятичный \log ( x ^3 + 1 - 2x ^2 ) \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} x ^2 - 3 меньше x ^3 + 1 - 2x ^2 \\[6pt] x ^2 - 3 больше 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^3 - 3x ^2 + 4 больше 0 \\[6pt] ( x - $\sqrt{3}$ ) ( x + $\sqrt{3}$ ) больше 0 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x + 1 ) ( x ^2 - 4x + 4 ) больше 0 \\[6pt] x больше $\sqrt{3}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( x - 2 ) ^2 больше 0 \\[6pt] x больше $\sqrt{3}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x не = 2 \\[6pt] x больше $\sqrt{3}$ \end{cases}$$ . = сильно \left[ \begin{array}{l} $\sqrt{3}$ меньше x меньше 2, x больше 2. \end{array} \right.$