Математика. Профильный уровень

Найдем \cos угла A:

$\cos A = $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{49}{625}$} аргумента = \frac{24}{25}$

Следовательно,

$AB = $\frac{AC}{\cos A}$ = 4,8 : $\frac{24}{25}$ = 4,8 \cdot $\frac{25}{24}$ = $\frac{48}{10}$ \cdot $\frac{25}{24}$ = 5$

Ответ: 5.

Примечание.
Можно было бы воспользоваться определением \cos а: $\cos A = $\frac{24}{25}$ = \frac{AC}{AB}$ то есть $\frac{24}{25} = \frac{4,8}{AB}$ откуда $AB = $\frac{25 \cdot 4,8}{24}$ = 5$

Приведём другое решение.
Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению \sin а $\sin A = $\frac{CB}{AB}$ = \frac{7}{25}$ то есть $\frac{CB}{x} = \frac{7}{25}$ откуда $CB = $\frac{7}{25}$ x$ Применим теорему Пифагора:

$x ^2 = 4,8 ^2 + ( $\frac{7}{25}$ x ) ^2 = сильно x ^2 = ( $\frac{24}{5}$ ) ^2 + $\frac{49}{625}$ x ^2 = сильно $\frac{576}{625}$ x ^2 = $\frac{576}{25}$ = сильно x ^2 = 25 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 5$ $x ^2 = 4,8 ^2 + ( $\frac{7}{25}$ x ) ^2 = сильно x ^2 = ( $\frac{24}{5}$ ) ^2 + $\frac{49}{625}$ x ^2 = сильно$
$ = сильно $\frac{576}{625}$ x ^2 = $\frac{576}{25}$ = сильно x ^2 = 25 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 5$

Имеем:

$BC = AC \text{tg} A = \frac{AC \sin A}{$\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента} = \frac{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} ,}{\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{17}{289}$} аргумента} = 2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} \cdot \frac{17}{$\sqrt{аргумента: 272}$ аргумента} = 2 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{1}{16}$} аргумента = 2 \cdot $\frac{1}{4}$ = 0,5$ $BC = AC \text{tg} A = \frac{AC \sin A}{$\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента} = \frac{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} ,}{\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{17}{289}$} аргумента} =$
$= 2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} \cdot \frac{17}{$\sqrt{аргумента: 272}$ аргумента} = 2 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{1}{16}$} аргумента = 2 \cdot $\frac{1}{4}$ = 0,5$

Ответ: 0,5.

Приведем решение Алишера Простова.
Найдем \cos угла А:

$\cos A = $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 1 - ( \frac{$\sqrt{начало аргумента: 17}$ аргумента}{17} ) ^2}аргумента = \frac{4}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}$

Найдем длину гипотенузы AB:

$AB = $\frac{AC}{\cos A}$ = \frac{2}{\frac{4,}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}} = \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{2}$

По теореме Пифагора найдем длину катета BC:

$BC = $\sqrt{аргумента: AB ^2 - AC ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( \frac{$\sqrt{начало аргумента: 17}$ аргумента}{2} ) ^2 - 2 ^2}аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{17 - 16}{4}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{4}$} аргумента = 0,5$

По определению \cos а: $\cos A = $\frac{AC}{AB}$ = \frac{1}{2}$ Значит, $\frac{4}{AB} = \frac{1}{2}$ откуда $AB = $\frac{4 \cdot 2}{1}$ = 8$

Ответ: 8.

Примечание.
Можно было бы сразу найти гипотенузу:

$AB = AC \over \cos A = 4 \over 0,5 = 8$

Заметим, что $1 + \text{tg} ^2 A = \frac{1}{\cos ^2 A}$ то есть

$\frac{1}{} \cos ^2 A = 1 + ( \frac{33}{4 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента} ) ^2 = 1 + $\frac{33}{16}$ = \frac{49}{16}$

Угол А острый, его \cos положительный, поэтому $\cos A = \frac{4}{7}$ Далее имеем:

$AB= $\frac{AC}{\cos A}$ = \frac{4}{$\frac{4,}{7}$} = 4 \cdot $\frac{7}{4}$ = 7$

Ответ: 7.

Примечание.
Можно было использовать определение \cos а: $\cos A = $\frac{AC}{AB}$ = \frac{4}{7}$ следовательно, $\frac{4}{AB} = \frac{4}{7}$ откуда AB  =  7.

Приведем другое решение:
Найдем BC:

$BC=AC \cdot \text{tg} A=4 \cdot \frac{33}{4 $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента$

По теореме Пифагора найдем AB:

$AB= $\sqrt{аргумента: AC ^2 + BC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 16 + 33}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 49}$ аргумента =7$

По определению \text{tg} а:

$BC=AC \text{tg} A=8 \cdot 0,5=4$

Ответ: 4.

По определению \sin а:

$AB= $\frac{BC}{\sin A}$ = $\frac{4}{0,5}$ =8$

Ответ: 8.

Имеем:

$AC= \frac{BC}{\text{tg} A} = $\frac{BC \cos A}{\sin A}$ = \frac{BC \cos A}{$\sqrt{аргумента: 1 - \cos в степени ( 2}$ аргумента A )} = \frac{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} ,}{\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{17}$} аргумента} =2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{4} =0,5$ $AC= \frac{BC}{\text{tg} A} = $\frac{BC \cos A}{\sin A}$ = \frac{BC \cos A}{$\sqrt{аргумента: 1 - \cos в степени ( 2}$ аргумента A )} =$
$= \frac{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} ,}{\sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{17}$} аргумента} =2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{4} =0,5$

Ответ: 0,5.

По определению \text{tg} а:

$AC= \frac{BC}{\operatorname \text{tg} A} = $\frac{4}{0,5}$ =8$

Ответ: 8.

Имеем:

$\sin A= $\frac{BC}{AB}$ = \frac{BC}{$\sqrt{аргумента: BC в степени ( 2}$ аргумента + AC ^2 )} = \frac{7}{$\sqrt{аргумента: 576 + 49}$ аргумента} = $\frac{7}{25}$ =0,28$

Ответ: 0,28.

Имеем:

$AH = AC \cos A = ( AB \cos A ) \cos A = AB \cos ^2 A =$
$= AB \cdot \frac{1}{1 + \text{tg} ^2 A} = 13 \cdot \frac{1}{1 + $\frac{1,}{25}$} = 13 \cdot $\frac{25}{26}$ = 12,5$

Ответ: 12,5.

Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем $\text{tg} A = \frac{CH}{AH}$ значит, $\frac{1}{5} = \frac{CH}{AH}$ откуда $CH = \frac{AH}{5}$ По свойству прямоугольного треугольника $CH ^2 = AH \cdot HB$ Пусть $AH = x$ тогда $HB = 13 - x$ следовательно,

$( $\frac{x}{5}$ ) ^2 = x ( 13 - x ) = сильно $\frac{x ^2}{25}$ = 13x - x ^2 = сильно x ^2 = 13 \cdot 25x - 25x ^2 = сильно$
$ = сильно 26x ^2 - 13 \cdot 25x = 0 = сильно 13x ( 2x - 25 ) = 0$ $( $\frac{x}{5}$ ) ^2 = x ( 13 - x ) = сильно $\frac{x ^2}{25}$ = 13x - x ^2 = сильно$
$ = сильно x ^2 = 13 \cdot 25x - 25x ^2 = сильно$
$ = сильно 26x ^2 - 13 \cdot 25x = 0 = сильно 13x ( 2x - 25 ) = 0$

откуда $x = 0$ что не подходит, или

$2x - 25 = 0 = сильно 2x = 25 = сильно x = 12,5$

Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть $AH = x$ тогда $HB = 13 - x$ Из треугольника ACH имеем $CH = AH \cdot \text{tg} A = \frac{x}{5}$ Из треугольника BCH имеем $CH = \frac{BH}{\text{tg} A} = 5 ( 13 - x )$ Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим

$\frac{x}{5} = 5 ( 13 - x ) = сильно $\frac{26x}{5}$ = 65 = сильно x = 12,5$

Углы А и НСВ равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

$BH=CB \sin \widehatHCB=CB \sin A=AB \sin ^2 A=AB ( 1 - \cos ^2 A ) =$ $AB ( 1 - $\frac{1}{1 + tg ^2 A}$ ) =13 ( 1 - $\frac{1}{26}$ ) =12,5$

Ответ: 12,5.

Приведем решение Александра Широкова.
Пусть BH  =  x, тогда AH  =  13 − x. Из прямоугольного треугольника ACH находим:

$CH=AH \text{tg} A= ( 13 - x ) \text{tg} A$

Углы А и НСВ равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, из прямоугольного треугольника HCB имеем:

$CH= \frac{BH}{\text{tg} A} = \frac{x}{\text{tg} A}$

Приравняв правые части полученных выражений, получим:

$5 ( 13 - x ) = $\frac{x}{5}$ = сильно 26 x=325 = сильно x=12,5$

Приведем решение Tema Resa.
Заметим, что $\text{tg} A= \frac{BC}{AC}$ откуда $BC=5AC$ По теореме Пифагора $AC ^2 + BC ^2 =AB ^2$ следовательно,

$AC ^2 + ( 5AC ) ^2 =13 ^2 = сильно AC= $\sqrt{аргумента: 6,5}$ аргумента$

Из прямоугольного треугольника ABC $\cos A= $\frac{AC}{AB}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 6,5}$ аргумента}{13} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$ Из прямоугольного треугольника ACH получим:

$\cos A = $\frac{AH}{AC}$ = сильно AH=AC \cdot \cos A = $\sqrt{аргумента: 6,5}$ аргумента \cdot \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{4}$} аргумента =0,5$

Тогда $BH=AB - AH=13 - 0,5=12,5$

Поскольку $CH=AC \sin A$ $AC=AB \cos A$ имеем:

$CH=AB \sin A \cos A=AB \cdot $\frac{\sin A}{\cos A}$ \cos ^2 A=AB \cdot \text{tg} альфа \frac{1}{1 + \text{tg} ^2 альфа} =13 \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot \frac{1}{1 + ( $\frac{1,}{5}$ ) ^2} = \frac{5}{2}$ $CH=AB \sin A \cos A=AB \cdot $\frac{\sin A}{\cos A}$ \cos ^2 A=$
$=AB \cdot \text{tg} альфа \frac{1}{1 + \text{tg} ^2 альфа} =13 \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot \frac{1}{1 + ( $\frac{1,}{5}$ ) ^2} = \frac{5}{2}$

Ответ: 2,5.

Приведем другое решение.
Пусть длина катета ВС равна х, тогда длина АС равна 5х, а длина гипотенузы равна $x $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента$ Зная, что гипотенуза равна 13, находим: $x= \frac{13}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента}$ Поскольку проведенная к гипотенузе высота равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, имеем:

$CH = $\frac{CB \cdot CA}{AB}$ = \frac{5x ^2}{x $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{5x}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = $\frac{5 \cdot 13}{26}$ = \frac{5}{2}$

Имеем:

$AH=AC \cos A= $\frac{BC}{tgA}$ \cdot \cos A= $\frac{BC \cos ^2 A}{\sin A}$ = $\frac{BC ( 1 - \sin ^2 A )}{\sin A}$ = \frac{3 ( 1 - $\frac{1}{36}$ ) ,}{$\frac{1}{6}$} =17,5$ $AH=AC \cos A= $\frac{BC}{tgA}$ \cdot \cos A= $\frac{BC \cos ^2 A}{\sin A}$ =$
$= $\frac{BC ( 1 - \sin ^2 A )}{\sin A}$ = \frac{3 ( 1 - $\frac{1}{36}$ ) ,}{$\frac{1}{6}$} =17,5$

Ответ: 17,5.

Приведем решение Расиля Садыкова.
Из прямоугольного треугольника ABC

$\sin \angle A = $\frac{BC}{AB}$ = сильно AB= $\frac{BC}{\sin \angle A}$ = \frac{3}{$\frac{1,}{6}$} =18$

Заметим, что ∠HCB = ∠CAB, тогда из прямоугольного треугольника CHB

$\sin \angle HCB= $\frac{HB}{BC}$ = сильно HB=BC \cdot \sin \angle HCB=3 \cdot $\frac{1}{6}$ =0,5$

Тогда AH  =  AB − HB  =  18 − 0,5  =  17,5.

Приведем решение Ларисы Максименко.
Из прямоугольного треугольника ABC

$\sin \angle A = $\frac{BC}{AB}$ = сильно AB= $\frac{BC}{\sin \angle A}$ = \frac{3}{$\frac{1,}{6}$} =18$

По теореме Пифагора

$AC ^2 =AB ^2 - BC ^2 =324 - 9=315$

В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

$AC ^2 =AB*AH = сильно AH= $\frac{AC ^2}{AB}$ = $\frac{315}{18}$ =17,5$

Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому

$BH=BC \sin \angle HCB=BC \sin A=8 \cdot 0,5=4$

Ответ: 4.

Углы А и НСВ равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому

$CH = BC \cos \angle HCB = BC \cos A = BC $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента = 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$ $CH = BC \cos \angle HCB = BC \cos A =$
$= BC $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента = 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$ $CH = BC \cos \angle HCB =$
$= BC \cos A = BC $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента =$
$= 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$

Ответ: 4,8.