Математика. Профильный уровень

Задача сводится к решению уравнения $l ( t ^{\circ} ) - l_0 = 3$ мм при заданных значениях длины $l_0=10$ м и коэффициента теплового расширения $альфа =1,2 \cdot 10 в степени ( - 5 ) ( ^{\circ} C ) в степени ( - 1 )$ :

$l ( t ^{\circ} ) - l_0 = 3 \cdot 10 в степени ( - 3 ) = сильно l_0 ( 1 + альфа \cdot t ^{\circ} ) - l_0 = 3 \cdot 10 в степени ( - 3 ) = сильно l_0 альфа t ^{\circ} = 3 \cdot 10 в степени ( - 3 ) = сильно$

$ = сильно 10 \cdot 1,2 \cdot 10 в степени ( - 5 ) t ^{\circ} = 3 \cdot 10 в степени ( - 3 ) = сильно t ^{\circ} = $\frac{3 \cdot 10 в степени ( - 3 )}{1,2 \cdot 10 в степени ( - 4 )}$ = сильно t ^{\circ} = 25 ^{\circ} C$

Ответ: 25.

Задача сводится к нахождению решения уравнения $\pi ( q ) = 300000$ руб. при заданных значениях цены за единицу $p=500$ руб., переменных затрат на производство одной единицы продукции $v =300$ руб. и постоянных расходов предприятия $f=$ $700 000$ руб. в месяц:

$\pi ( q ) =300000 = сильно q ( p - v ) - f_0= 300000 = сильно$

$ = сильно q ( 500 - 300 ) - 700000= 300000 = сильно q= 5000$

Ответ: 5000.

Пусть $h_1$   — расстояние до воды до дождя, $h_2$   — расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным $t=0,6 - 0,2=0,4$ с. Уровень воды поднимется на $h_1 - h_2$ метров.

$h_1 - h_2=5 \cdot 0,6 ^2 - 5 \cdot 0,4 ^2 =1$

Ответ: 1.

Задача сводится к решению неравенства $r ( p ) больше или = 240$ :

$r ( p ) =q \cdot p= ( 100 - 10p ) p=100p - 10p ^2$

$r ( p ) больше или = 240 = сильно 10p ^2 - 100p + 240 меньше или = 0 = сильно p ^2 - 10p + 24 меньше или = 0 = сильно 4 меньше или = p меньше или = 6$ $r ( p ) больше или = 240 = сильно 10p ^2 - 100p + 240 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно p ^2 - 10p + 24 меньше или = 0 = сильно 4 меньше или = p меньше или = 6$

Ответ: 6.

Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение $h ( t ) =3$ :

$h ( t ) =3 = сильно 1,6 + 8t - 5t ^2 =3 = сильно 5t ^2 - 8t + 1,4=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t=0,2; новая строка t=1,4. \end{array} \right.$

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени $t=0,2$ (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени $t=1,4$ (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,4 − 0,2  =  1,2 секунды.

Ответ: 1,2.

Задача сводится к решению неравенства $P ( v ) больше или = 0$ при заданной длине верёвки $L=0,4$ м:

$P больше или = 0 = сильно m ( $\frac{v ^2}{L}$ - g ) больше или = 0 = сильно $\frac{v ^2}{0,4}$ - 10 больше или = 0 = сильно v ^2 больше или = 4 = сильно v больше или = 2м/с$

Ответ: 2.

Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является

$H ( t ) =20 - $\sqrt{аргумента: 2 \cdot 10 \cdot 20}$ аргумента \cdot $\frac{1}{50}$ t + $\frac{10}{2}$ ( $\frac{1}{50}$ ) ^2 t ^2 =0,002t ^2 - 0,4t + 20$

Четверть первоначального объёма воды в баке останется, когда высота столба воды будет 5 м. Определим требуемое на вытекание трех четвертей воды время  — найдем меньший корень уравнения $H ( t ) =5$ :

$0,002t ^2 - 0,4t + 20=5 = сильно t ^2 - 200t + 7500=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t=50; новая строка t=150. \end{array} \right.$

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.

Ответ: 50.

Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени является

$H ( t ) =0,01t ^2 - 0,4t + 4$

Вода будет вытекать из бака, пока её начальный уровень не понизится до нуля. Определим требуемое на это время, решая уравнение $H ( t ) =0$ :

$H ( t ) =0 = сильно 0,01t ^2 - 0,4t + 4=0 = сильно t ^2 - 40t + 400=0 = сильно t=20$

Это означает, что по прошествии 20 минут вся вода вытечет из бака.

Ответ: 20.

Задача сводится к решению неравенства $y больше или = 9$ : при заданных значениях параметров a и b:

$y больше или = 9 = сильно - $\frac{1}{100}$ x ^2 + x больше или = 9 = сильно x ^2 - 100x + 900 меньше или = 0 = сильно 10 меньше или = x меньше или = 90$ м.

Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 метра, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 до 90 метров от этой стены. Наибольшее расстояние  — 90 метров.

Ответ: 90.

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет = й $1760$ К. Задача сводится к решению неравенства $T ( t ) \leqslant1760$ при заданных значениях параметров a и b:

$1400 + 200t - 10t ^2 \leqslant1760 = сильно t ^2 - 20t + 36\geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} новая строка t\leqslant2; новая строка t\geqslant18. \end{array} \right.$

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1760 К и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Ответ: 2.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $\varphi меньше или = 1200$ при заданных значениях параметров $\omega$ и $бета$ :

$\varphi меньше или = 1200 = сильно 2t ^2 + 20t меньше или = 1200 = сильно t ^2 + 10t - 600 меньше или = 0 = сильно - 30 меньше или = t меньше или = 20$   $мин$

Учитывая то, что время  — неотрицательная величина, получаем $t меньше или = 20$ Угол намотки достигнет значения 1200° при t  =  20 мин.

Ответ: 20.

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если $S меньше или = 30 км$ Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $S меньше или = 30$ при заданных значениях параметров $v _0$ и a:

$S меньше или = 30 = сильно 6t ^2 + 57t меньше или = 30 = сильно 6t ^2 + 57t - 30 меньше или = 0 = сильно 2t ^2 + 19t - 10 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{ - 19 - $\sqrt{аргумента: 361 + 80}$ аргумента}{4} меньше или = t меньше или = \frac{ - 19 + $\sqrt{аргумента: 361 + 80}$ аргумента}{4} = сильно - 10 меньше или = t меньше или = 0,5$ $S меньше или = 30 = сильно 6t ^2 + 57t меньше или = 30 = сильно$
$ = сильно 6t ^2 + 57t - 30 меньше или = 0 = сильно 2t ^2 + 19t - 10 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{ - 19 - $\sqrt{аргумента: 361 + 80}$ аргумента}{4} меньше или = t меньше или = \frac{ - 19 + $\sqrt{аргумента: 361 + 80}$ аргумента}{4} = сильно - 10 меньше или = t меньше или = 0,5$ $S меньше или = 30 = сильно 6t ^2 + 57t меньше или = 30 = сильно$
$ = сильно 6t ^2 + 57t - 30 меньше или = 0 = сильно 2t ^2 + 19t - 10 меньше или = 0 = сильно$
$ = сильно \frac{ - 19 - $\sqrt{аргумента: 361 + 80}$ аргумента}{4} меньше или = t меньше или = \frac{ - 19 + $\sqrt{аргумента: 361 + 80}$ аргумента}{4} = сильно$
$ = сильно - 10 меньше или = t меньше или = 0,5$

Учитывая, что время  — неотрицательная величина, получаем $t меньше или = 0,5 ч$ то есть $t меньше или = 30 мин$

Ответ: 30.

Найдем, за какое время, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 30 метров:

$20t - 2,5t ^2 =30 = сильно t ^2 - 8t + 12=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} t=6, t=2. \end{array} \right.$

Значит, через 2 секунды после начала торможения автомобиль проедет 30 метров.

Ответ: 2.

Примечание о выборе корня.
Формула $S = 20t - 2,5t ^2$ описывает движение автомобиля от начала торможения до полной остановки. Моменту остановки соответствует наибольший пройденный путь. Наибольшее значение квадратного трехчлена $at ^2 + bt + c$ достигается в точке $t_0 = - \frac{b}{} 2a$ в нашем случае $t_0 = $\frac{ - 20}{ - 5}$ = 4 \с$ Следовательно, через 4 секунды после начала движения автомобиль остановится. Поэтому больший корень уравнения не подходит по смыслу задачи.
Если бы автомобиль после остановки продолжил движение в соответствии с заданной формулой, он поехал бы назад, увеличивая скорость. В некоторый момент времени автомобиль вновь оказался бы на заданном расстоянии от начального положения. Этот момент определяется большим корнем решенного уравнения.
Для читателей, закончивших 9 класс, приведем объяснение в общем виде, опираясь на знания курса физики. При = ускоренном движении $x ( t ) =x_0 + v _0 t + \frac{at ^2}{2}$ $v ( t ) = v _0 + at$ Из формулы скорости следует, что при торможении скорость тела достигает нуля в момент времени $t_0 = - \frac{v _0}{a}$ Поэтому при решении задач на пройденный при торможении путь допустимыми являются моменты времени, не большие t0.
Рекомендуем сравнить это задание с заданиями 27961 и 27962.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства $I меньше или = 625$ при заданных значениях параметров m, M и R:

$I меньше или = 625 = сильно $\frac{( 8 + 2 ) \cdot 10 ^2}{2}$ + 1 \cdot ( 2 \cdot 10 \cdot h + h ^2 ) меньше или = 625 = сильно h ^2 + 20h - 125 меньше или = 0$ $I меньше или = 625 = сильно $\frac{( 8 + 2 ) \cdot 10 ^2}{2}$ + 1 \cdot ( 2 \cdot 10 \cdot h + h ^2 ) меньше или = 625 = сильно$
$ = сильно h ^2 + 20h - 125 меньше или = 0$

Решая квадратное неравенство методом интервалов, получим $ - 25 меньше или = h меньше или = 5$ Наибольшее решение двойного неравенства  — число 5.

Ответ: 5.

Задача сводится к решению неравенства $F_A меньше или = 78400$ при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:

$F_А меньше или = 78400 = сильно 1000 \cdot 9,8 \cdot l ^3 меньше или = 78400 = сильно l ^3 меньше или = 8 = сильно l меньше или = 2$ м.

Ответ: 2.