📐
ЕГЭ 2026
Математика. Профильный уровень
Заданий в базе: 8 885
С решениями: 7 888
С чертежами: 4 326
Номера заданий в КИМ:
Найдено заданий: 8 885
Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Их сумма равна 180°, то есть 9x = 180°, откуда x = 20. Значит, меньший угол равен 2x = 2 · 20° = 40°.
Ответ: 40.
Ответ: 40.
Правильный ответ:
40
[рис.] В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол В — тупой, CH — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Последовательно получаем:
$\angle ACB = \angle ACH - \angle BCH = ( 90 ^{\circ} - \angle A ) - \angle BCH = 90 ^{\circ} - 30 ^{\circ} - 22 ^{\circ} = 38 ^{\circ}$ $\angle ACB = \angle ACH - \angle BCH =$
$= ( 90 ^{\circ} - \angle A ) - \angle BCH = 90 ^{\circ} - 30 ^{\circ} - 22 ^{\circ} = 38 ^{\circ}$
Ответ: 38.
$\angle ACB = \angle ACH - \angle BCH = ( 90 ^{\circ} - \angle A ) - \angle BCH = 90 ^{\circ} - 30 ^{\circ} - 22 ^{\circ} = 38 ^{\circ}$ $\angle ACB = \angle ACH - \angle BCH =$
$= ( 90 ^{\circ} - \angle A ) - \angle BCH = 90 ^{\circ} - 30 ^{\circ} - 22 ^{\circ} = 38 ^{\circ}$
Ответ: 38.
Правильный ответ:
38
[рис.] В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 50°, угол CAD равен 28°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Луч AD — биссектриса, она делит угол пополам. Получаем:
$\angle B = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle C = 180 ^{\circ} - 2 \angle CAD - \angle C = 180 ^{\circ} - 2 \cdot 28 ^{\circ} - 50 ^{\circ} = 74 ^{\circ}$ $\angle B = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle C = 180 ^{\circ} - 2 \angle CAD - \angle C =$
$= 180 ^{\circ} - 2 \cdot 28 ^{\circ} - 50 ^{\circ} = 74 ^{\circ}$
Ответ: 74.
$\angle B = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle C = 180 ^{\circ} - 2 \angle CAD - \angle C = 180 ^{\circ} - 2 \cdot 28 ^{\circ} - 50 ^{\circ} = 74 ^{\circ}$ $\angle B = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle C = 180 ^{\circ} - 2 \angle CAD - \angle C =$
$= 180 ^{\circ} - 2 \cdot 28 ^{\circ} - 50 ^{\circ} = 74 ^{\circ}$
Ответ: 74.
Правильный ответ:
74
[рис.] В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Луч AD — биссектриса, поэтому $\angle CAD = \angle BAD = 22 ^{\circ}$ Угол ADB является внешним углом треугольника ADC, следовательно, он равен сумме двух не смежных с ним углов: $\angle ADB = \angle CAD + \angle ACD = 52 ^{\circ}$
Ответ: 52.
Ответ: 52.
Правильный ответ:
52
[рис.] В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 65°. BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°, следовательно,
$\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle ADO - \angle OEA - \angle A = 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 65 ^{\circ} = 115 ^{\circ}$ $\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle ADO - \angle OEA - \angle A =$
$= 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 65 ^{\circ} = 115 ^{\circ}$
Ответ: 115.
$\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle ADO - \angle OEA - \angle A = 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 65 ^{\circ} = 115 ^{\circ}$ $\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle ADO - \angle OEA - \angle A =$
$= 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 65 ^{\circ} = 115 ^{\circ}$
Ответ: 115.
Правильный ответ:
115
[рис.] Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Cумма углов в выпуклом четырёхугольнике DOEC равна 360°, следовательно,
$\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle CDO - \angle CEO - \angle C = 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 72 ^{\circ} ) = 130 ^{\circ}$ $\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle CDO - \angle CEO - \angle C =$
$= 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 72 ^{\circ} ) = 130 ^{\circ}$
Ответ: 130.
Приведём другое решение.
Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен $58 ^{\circ} + 72 ^{\circ} = 130 ^{\circ}$
$\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle CDO - \angle CEO - \angle C = 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 72 ^{\circ} ) = 130 ^{\circ}$ $\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle CDO - \angle CEO - \angle C =$
$= 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 72 ^{\circ} ) = 130 ^{\circ}$
Ответ: 130.
Приведём другое решение.
Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен $58 ^{\circ} + 72 ^{\circ} = 130 ^{\circ}$
Правильный ответ:
130
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 58°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Рассмотрим угол AOB в треугольнике AOB:
$\angle AOB = 180 ^{\circ} - ( \angle OAB + \angle OBA ) = 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( \angle A + \angle B ) =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - \angle C ) = 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} ) = 180 ^{\circ} - 61 ^{\circ} = 119 ^{\circ}$ $\angle AOB = 180 ^{\circ} - ( \angle OAB + \angle OBA ) =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( \angle A + \angle B ) = 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - \angle C ) =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} ) = 180 ^{\circ} - 61 ^{\circ} = 119 ^{\circ}$
Ответ: 119.
$\angle AOB = 180 ^{\circ} - ( \angle OAB + \angle OBA ) = 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( \angle A + \angle B ) =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - \angle C ) = 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} ) = 180 ^{\circ} - 61 ^{\circ} = 119 ^{\circ}$ $\angle AOB = 180 ^{\circ} - ( \angle OAB + \angle OBA ) =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( \angle A + \angle B ) = 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - \angle C ) =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} ) = 180 ^{\circ} - 61 ^{\circ} = 119 ^{\circ}$
Ответ: 119.
Правильный ответ:
119
[рис.] В треугольнике ABC CH — высота, AD — биссектриса, O — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 26°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Угол AOC — внешний угол треугольника AOН, поэтому он равен сумме углов НAO и AНO. Таким образом, угол AOC равен $26 ^{\circ} + 90 ^{\circ} = 116 ^{\circ}$
Ответ: 116.
Ответ: 116.
Правильный ответ:
116
[рис.] В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Треугольник ADC — = бедренный, значит, углы DAC и ACD равны как углы при его основании. Треугольник ADB тоже = бедренный, следовательно, углы ADB и ABD равны как углы при его основании, причем
$\angle ADB = 180 ^{\circ} - \angle ADC = 180 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 2 \angle ACD ) = 2 \angle ACD$
Тогда
$\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^{\circ} = сильно \angle BAD + \angle DAC + \angle ABD + \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно 5 \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно \angle ACD = 36 ^{\circ}$ $\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно \angle BAD + \angle DAC + \angle ABD + \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно 5 \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно \angle ACD = 36 ^{\circ}$
Ответ: 36.
Приведём другое решение.
Пусть $\angle DAB = альфа$ тогда $\angle DAC = альфа$ потому что луч AD — биссектриса. Следовательно, $\angle ACD = альфа$ поскольку треугольник ADC — = бедренный. Значит, $\angle ADB = 2 альфа$ как внешний угол треугольника ADC, и $\angle ABD = 2 альфа$ в = бедренном треугольнике DAB. Таким образом, в треугольнике DAB углы равны α, $2 альфа$ и $2 альфа$ соответственно. Вместе $5 альфа = 180 ^{\circ}$ откуда $альфа = 36 ^{\circ}$ Это и есть искомый наименьший угол С треугольника АВС.
$\angle ADB = 180 ^{\circ} - \angle ADC = 180 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 2 \angle ACD ) = 2 \angle ACD$
Тогда
$\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^{\circ} = сильно \angle BAD + \angle DAC + \angle ABD + \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно 5 \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно \angle ACD = 36 ^{\circ}$ $\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно \angle BAD + \angle DAC + \angle ABD + \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно 5 \angle ACD = 180 ^{\circ} = сильно \angle ACD = 36 ^{\circ}$
Ответ: 36.
Приведём другое решение.
Пусть $\angle DAB = альфа$ тогда $\angle DAC = альфа$ потому что луч AD — биссектриса. Следовательно, $\angle ACD = альфа$ поскольку треугольник ADC — = бедренный. Значит, $\angle ADB = 2 альфа$ как внешний угол треугольника ADC, и $\angle ABD = 2 альфа$ в = бедренном треугольнике DAB. Таким образом, в треугольнике DAB углы равны α, $2 альфа$ и $2 альфа$ соответственно. Вместе $5 альфа = 180 ^{\circ}$ откуда $альфа = 36 ^{\circ}$ Это и есть искомый наименьший угол С треугольника АВС.
Правильный ответ:
36
[рис.] В треугольнике ABC угол A равен 44°, угол C равен 62°. На продолжении стороны AB за точку B отложен отрезок BD, равный стороне BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Треугольник CBD — = бедренный, углы C и D при его основании равны, а их сумма равна внешнему углу при вершине В, то есть углу В треугольника ABC. Сумма углов треугольника ABC равна 180°, поэтому $\angle B = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle C = 74 ^{\circ}$ Следовательно, $\angle C = \angle D = 37 ^{\circ}$
Ответ: 37.
Приведем решение Расиля Садыкова.
Угол CBD — внешний угол треугольника ABC, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, $\angle CBD = 44 ^{\circ} + 62 ^{\circ} = 106 ^{\circ}$ Треугольник CBD — = бедренный, углы C и D в нем равны, поэтому
$\angle D = \frac{180 ^{\circ} - \angle B}{2} = \frac{180 ^{\circ} - 106 ^{\circ}}{2} = 37 ^{\circ}$
Ответ: 37.
Приведем решение Расиля Садыкова.
Угол CBD — внешний угол треугольника ABC, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, $\angle CBD = 44 ^{\circ} + 62 ^{\circ} = 106 ^{\circ}$ Треугольник CBD — = бедренный, углы C и D в нем равны, поэтому
$\angle D = \frac{180 ^{\circ} - \angle B}{2} = \frac{180 ^{\circ} - 106 ^{\circ}}{2} = 37 ^{\circ}$
Правильный ответ:
37
[рис.] В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD — биссектриса, E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Треугольники CAD и EAD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle C = \angle DEA = 85 ^{\circ}$ Следовательно,
$\angle BDE = 180 ^{\circ} - \angle B - \angle BED = 180 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 85 ^{\circ} ) = 40 ^{\circ}$
Ответ: 40.
$\angle BDE = 180 ^{\circ} - \angle B - \angle BED = 180 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - 85 ^{\circ} ) = 40 ^{\circ}$
Ответ: 40.
Правильный ответ:
40
[рис.] В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE = CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Треугольники CBD и ECD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $\angle BDC = \angle CDE$ Следовательно,
$\angle BDE = 2 \angle BDC = 2 ( 180 ^{\circ} - \angle BCD - \angle CBD )$
Учитывая, что
$\angle BCD = $\frac{\angle BCE}{2}$ = $\frac{\angle A + \angle B}{2}$ = 58 ^{\circ}$
$\angle CBD = 180 ^{\circ} - \angle B = 94 ^{\circ}$
получаем
$\angle BDE = 2 ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 94 ^{\circ} ) = 2 \cdot 28 ^{\circ} = 56 ^{\circ}$
Ответ: 56.
$\angle BDE = 2 \angle BDC = 2 ( 180 ^{\circ} - \angle BCD - \angle CBD )$
Учитывая, что
$\angle BCD = $\frac{\angle BCE}{2}$ = $\frac{\angle A + \angle B}{2}$ = 58 ^{\circ}$
$\angle CBD = 180 ^{\circ} - \angle B = 94 ^{\circ}$
получаем
$\angle BDE = 2 ( 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 94 ^{\circ} ) = 2 \cdot 28 ^{\circ} = 56 ^{\circ}$
Ответ: 56.
Правильный ответ:
56
[рис.] В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Последовательно получаем:
$\angle AOF = 180 ^{\circ} - \angle OAF - \angle OFA = 180 ^{\circ} - $\frac{\angle A}{2}$ - ( 180 ^{\circ} - \angle A - $\frac{\angle C}{2}$ ) =$
$= $\frac{\angle A}{2}$ + $\frac{\angle C}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ( \angle A + 180 ^{\circ} - \angle A - \angle B ) = 90 ^{\circ} - $\frac{\angle B}{2}$ = 49 ^{\circ}$ $\angle AOF = 180 ^{\circ} - \angle OAF - \angle OFA =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{\angle A}{2}$ - ( 180 ^{\circ} - \angle A - $\frac{\angle C}{2}$ ) = $\frac{\angle A}{2}$ + $\frac{\angle C}{2}$ =$
$= $\frac{1}{2}$ ( \angle A + 180 ^{\circ} - \angle A - \angle B ) = 90 ^{\circ} - $\frac{\angle B}{2}$ = 49 ^{\circ}$
Ответ: 49.
Приведем решение Дани Хикканова.
В треугольнике ABC
$\angle C = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle B = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} - 82 ^{\circ} = 38 ^{\circ}$
В треугольнике ACF
$\angle F = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle ACF = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} - \frac{38 ^{\circ}}{2} = 101 ^{\circ}$
В треугольнике AOF
$\angle AOF = 180 ^{\circ} - \angle OAF - \angle F = 180 ^{\circ} - \frac{60 ^{\circ}}{2} - 101 ^{\circ} = 49 ^{\circ}$
$\angle AOF = 180 ^{\circ} - \angle OAF - \angle OFA = 180 ^{\circ} - $\frac{\angle A}{2}$ - ( 180 ^{\circ} - \angle A - $\frac{\angle C}{2}$ ) =$
$= $\frac{\angle A}{2}$ + $\frac{\angle C}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ( \angle A + 180 ^{\circ} - \angle A - \angle B ) = 90 ^{\circ} - $\frac{\angle B}{2}$ = 49 ^{\circ}$ $\angle AOF = 180 ^{\circ} - \angle OAF - \angle OFA =$
$= 180 ^{\circ} - $\frac{\angle A}{2}$ - ( 180 ^{\circ} - \angle A - $\frac{\angle C}{2}$ ) = $\frac{\angle A}{2}$ + $\frac{\angle C}{2}$ =$
$= $\frac{1}{2}$ ( \angle A + 180 ^{\circ} - \angle A - \angle B ) = 90 ^{\circ} - $\frac{\angle B}{2}$ = 49 ^{\circ}$
Ответ: 49.
Приведем решение Дани Хикканова.
В треугольнике ABC
$\angle C = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle B = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} - 82 ^{\circ} = 38 ^{\circ}$
В треугольнике ACF
$\angle F = 180 ^{\circ} - \angle A - \angle ACF = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} - \frac{38 ^{\circ}}{2} = 101 ^{\circ}$
В треугольнике AOF
$\angle AOF = 180 ^{\circ} - \angle OAF - \angle F = 180 ^{\circ} - \frac{60 ^{\circ}}{2} - 101 ^{\circ} = 49 ^{\circ}$
Правильный ответ:
49
[рис.] В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Угол между высотами равен углу между сторонами, к которым они проведены: $\angle AOF = \angle B = 82 ^{\circ}$
Ответ: 82.
Ответ: 82.
Правильный ответ:
82
Два угла треугольника равны 33° и 105°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Выполним построения, как показано на рисунке. Найдем вначале острый угол между продолжениями высот — угол DOB, искомый угол является смежным с ним.
Прямоугольные треугольники ADC и AEO имеют равные вертикальные острые углы А, поэтому другие их острые углы также равны. Следовательно,
$\angle AOE = \angle ACD = 180 ^{\circ} - ( 33 ^{\circ} + 105 ^{\circ} ) = 42 ^{\circ}$
Смежный с найденным угол равен $180 ^{\circ} - 42 ^{\circ} = 138 ^{\circ}$
Ответ: 138.
Приведём другое решение.
Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен $33 ^{\circ} + 105 ^{\circ} = 138 ^{\circ}$
Примечание.
Формулировка задания некорректна: высоты тупоугольного треугольника не пересекаются. Составители хотели спросить про угол между продолжениями высот. Этот угол мы и нашли.
Прямоугольные треугольники ADC и AEO имеют равные вертикальные острые углы А, поэтому другие их острые углы также равны. Следовательно,
$\angle AOE = \angle ACD = 180 ^{\circ} - ( 33 ^{\circ} + 105 ^{\circ} ) = 42 ^{\circ}$
Смежный с найденным угол равен $180 ^{\circ} - 42 ^{\circ} = 138 ^{\circ}$
Ответ: 138.
Приведём другое решение.
Один из углов между высотами треугольника, проведёнными из двух его вершин, равен углу при третьей вершине; другой угол равен сумме углов треугольника, из вершин которых проведены высоты. Требуется найти тупой угол между высотами, он равен $33 ^{\circ} + 105 ^{\circ} = 138 ^{\circ}$
Примечание.
Формулировка задания некорректна: высоты тупоугольного треугольника не пересекаются. Составители хотели спросить про угол между продолжениями высот. Этот угол мы и нашли.
Правильный ответ:
138