📐
ЕГЭ 2026
Математика. Профильный уровень
Заданий в базе: 8 885
С решениями: 7 888
С чертежами: 4 326
Номера заданий в КИМ:
Найдено заданий: 8 885
[рис.] Основания = бедренной трапеции равны 7 и 51. \text{tg} острого угла равен $\frac{5}{11}$ Найдите высоту трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
Последовательно получаем:
$CE = ED \cdot \text{tg} \angle CDA = $\frac{AD - BC}{2}$ \cdot \text{tg} \angle CDA = 22 \cdot $\frac{5}{11}$ = 10$
Ответ: 10.
$CE = ED \cdot \text{tg} \angle CDA = $\frac{AD - BC}{2}$ \cdot \text{tg} \angle CDA = 22 \cdot $\frac{5}{11}$ = 10$
Ответ: 10.
Правильный ответ:
10
[рис.] Меньшее основание = бедренной трапеции = 23. Высота трапеции равна 39. \text{tg} острого угла равен $\frac{13}{8}$ Найдите большее основание.
Пошаговый разбор и решение:
Последовательно получаем:
$AD = BC + 2 ED = BC + 2 \frac{CE}{\text{tg} \angle CDA} = 23 + 2 \cdot 39 \cdot $\frac{8}{13}$ = 23 + 48 = 71$
Ответ: 71.
$AD = BC + 2 ED = BC + 2 \frac{CE}{\text{tg} \angle CDA} = 23 + 2 \cdot 39 \cdot $\frac{8}{13}$ = 23 + 48 = 71$
Ответ: 71.
Правильный ответ:
71
[рис.] Основания = бедренной трапеции равны 17 и 87. Высота трапеции равна 14. Найдите \text{tg} острого угла.
Пошаговый разбор и решение:
Последовательно получаем:
$\text{tg} \angle CDA = $\frac{CE}{ED}$ = 14 : $\frac{AD - BC}{2}$ = 14 : 35 = 0,4$
Ответ: 0,4.
$\text{tg} \angle CDA = $\frac{CE}{ED}$ = 14 : $\frac{AD - BC}{2}$ = 14 : 35 = 0,4$
Ответ: 0,4.
Правильный ответ:
0,4
[рис.] Основания = бедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Трапеция = бедренная, следовательно,
$AH = $\frac{AD - BC}{2}$ = 6$
$AB = $\frac{P_ABCD - ( AD + BC )}{2}$ = 10$
По теореме Пифагора в треугольнике ABH:
$BH = $\sqrt{аргумента: AB ^2 - AH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 36}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 64}$ аргумента = 8$
Таким образом,
$S = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = 20 \cdot 8 = 160$
Ответ: 160.
$AH = $\frac{AD - BC}{2}$ = 6$
$AB = $\frac{P_ABCD - ( AD + BC )}{2}$ = 10$
По теореме Пифагора в треугольнике ABH:
$BH = $\sqrt{аргумента: AB ^2 - AH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 36}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 64}$ аргумента = 8$
Таким образом,
$S = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = 20 \cdot 8 = 160$
Ответ: 160.
Правильный ответ:
160
[рис.] Основания = бедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Из формулы для площади $S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH$ найдем высоту:
$BH = $\frac{2S_ABCD}{AB + CD}$ = $\frac{80}{20}$ = 4$
По теореме Пифагора в треугольнике ABH получаем:
$AB = $\sqrt{аргумента: BH ^2 + AH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: BH ^2 + ( $\frac{AD - BC}{2}$ ) ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16 + 9}$ аргумента = 5$
откуда $P_ABCD = 2AB + AD + BC = 30$
Ответ: 30.
$BH = $\frac{2S_ABCD}{AB + CD}$ = $\frac{80}{20}$ = 4$
По теореме Пифагора в треугольнике ABH получаем:
$AB = $\sqrt{аргумента: BH ^2 + AH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: BH ^2 + ( $\frac{AD - BC}{2}$ ) ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 16 + 9}$ аргумента = 5$
откуда $P_ABCD = 2AB + AD + BC = 30$
Ответ: 30.
Правильный ответ:
30
[рис.] Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Проведем высоту CH. Треугольник CHD — прямоугольный с $\angle CDA = 45 ^{\circ}$ значит, он также = бедренный: $CH = HD = 4$ Следовательно,
$S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot CH = 4 \cdot 4 = 16$
Ответ: 16.
$S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot CH = 4 \cdot 4 = 16$
Ответ: 16.
Правильный ответ:
16
[рис.] Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Найдем длину высоты CH из формулы площади трапеции:
$S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot CH = сильно CH = $\frac{2S_ABCD}{AD + BC}$ = сильно CH = $\frac{2 \cdot 64}{16}$ = сильно CH = 8$
В прямоугольный треугольник CHD $HD = AD - BC = 8$ то есть $CH = HD$ Следовательно, треугольник CHD — = бедренный и прямоугольный, тогда его острые углы равны 45°.
Ответ: 45.
$S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot CH = сильно CH = $\frac{2S_ABCD}{AD + BC}$ = сильно CH = $\frac{2 \cdot 64}{16}$ = сильно CH = 8$
В прямоугольный треугольник CHD $HD = AD - BC = 8$ то есть $CH = HD$ Следовательно, треугольник CHD — = бедренный и прямоугольный, тогда его острые углы равны 45°.
Ответ: 45.
Правильный ответ:
45
[рис.] Основания = бедренной трапеции равны 14 и 26, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Последовательно получаем:
$AH = $\frac{AD - BC}{2}$ = $\frac{26 - 14}{2}$ = 6$
$BH = $\sqrt{аргумента: AB ^2 - AH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 36}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 64}$ аргумента = 8$
Таким образом,
$S = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = $\frac{40}{2}$ \cdot 8 = 160$
Ответ: 160.
$AH = $\frac{AD - BC}{2}$ = $\frac{26 - 14}{2}$ = 6$
$BH = $\sqrt{аргумента: AB ^2 - AH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 100 - 36}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 64}$ аргумента = 8$
Таким образом,
$S = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = $\frac{40}{2}$ \cdot 8 = 160$
Ответ: 160.
Правильный ответ:
160
[рис.] Основания = бедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Найдем высоту трапеции BH из формулы для площади:
$S = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = сильно $\frac{13 + 7}{2}$ \cdot BH = 40 = сильно 10BH = 40 = сильно BH = 4$
По теореме Пифагора в треугольнике ABH получаем:
$AB = $\sqrt{аргумента: AH ^2 + BH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{AD - BC}{2}$ ) ^2 + BH ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 16}$ аргумента = 5$
Ответ: 5.
$S = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = сильно $\frac{13 + 7}{2}$ \cdot BH = 40 = сильно 10BH = 40 = сильно BH = 4$
По теореме Пифагора в треугольнике ABH получаем:
$AB = $\sqrt{аргумента: AH ^2 + BH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{AD - BC}{2}$ ) ^2 + BH ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 16}$ аргумента = 5$
Ответ: 5.
Правильный ответ:
5
[рис.] Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Острый угол трапеции равен 30°. Найдем высоту BH из прямоугольного треугольника ABH:
$BH = AB \cdot \sin BAD = 7 \cdot $\frac{1}{2}$ = 3,5$
Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину высоты:
$S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = $\frac{18 + 6}{2}$ \cdot 3,5 = 42$
Ответ: 42.
$BH = AB \cdot \sin BAD = 7 \cdot $\frac{1}{2}$ = 3,5$
Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину высоты:
$S_ABCD = $\frac{AD + BC}{2}$ \cdot BH = $\frac{18 + 6}{2}$ \cdot 3,5 = 42$
Ответ: 42.
Правильный ответ:
42
[рис.] Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину высоты. Пусть высота равна h, тогда
$S = $\frac{27 + 9}{2}$ \cdot h = 72$
откуда $h = 4$ Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции (см. рис.). Длина катета равна половине гипотенузы. Следовательно, он лежит напротив угла 30°.
Ответ: 30.
Примечание.
Заметим, что трапеция не является = бедренной. Заинтересованные читатели могут самостоятельно найти вторую боковую сторону этой трапеции.
$S = $\frac{27 + 9}{2}$ \cdot h = 72$
откуда $h = 4$ Рассмотрим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, равная 8, а катетом — высота трапеции (см. рис.). Длина катета равна половине гипотенузы. Следовательно, он лежит напротив угла 30°.
Ответ: 30.
Примечание.
Заметим, что трапеция не является = бедренной. Заинтересованные читатели могут самостоятельно найти вторую боковую сторону этой трапеции.
Правильный ответ:
30
[рис.] Чему равен больший угол = бедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 50°? Ответ дайте в градусах.
Пошаговый разбор и решение:
Разность противолежащих углов равна 50°, а их сумма равна 180°, получаем:
$$$\begin{cases} \angle C - \angle A = 50 ^{\circ} \\[6pt] \angle C + \angle A = 180 ^{\circ} \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2 \angle C = 230 ^{\circ} \\[6pt] \angle A = 180 ^{\circ} - \angle C \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \angle C = 115 ^{\circ} \\[6pt] \angle A = 65 ^{\circ}. \end{cases}$$$
Больший угол равен 115°.
Ответ: 115.
$$$\begin{cases} \angle C - \angle A = 50 ^{\circ} \\[6pt] \angle C + \angle A = 180 ^{\circ} \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2 \angle C = 230 ^{\circ} \\[6pt] \angle A = 180 ^{\circ} - \angle C \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \angle C = 115 ^{\circ} \\[6pt] \angle A = 65 ^{\circ}. \end{cases}$$$
Больший угол равен 115°.
Ответ: 115.
Правильный ответ:
115
[рис.] Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание = 18. Найдите большее основание трапеции.
Пошаговый разбор и решение:
Пусть длина большего основания равна x. Средняя линия равна полусумме длин оснований, поэтому $18 + x = 2 \cdot 28$ откуда $x = 38$
Ответ: 38.
Ответ: 38.
Правильный ответ:
38
[рис.] Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Пошаговый разбор и решение:
Больший отрезок средней линии трапеции является средней линией треугольника ABD, а значит, равен половине его основания:
$EO = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$ \cdot 10 = 5$
Ответ: 5.
$EO = $\frac{1}{2}$ AD = $\frac{1}{2}$ \cdot 10 = 5$
Ответ: 5.
Правильный ответ:
5
[рис.] В = бедренной трапеции большее основание = 25, боковая сторона равна 10, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание.
Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Проведем высоту BH. Последовательно получаем:
$BC = AD - 2AH = AD - 2AB \cdot \cos \angle BAD = 25 - 20 \cdot $\frac{1}{2}$ = 15$
Ответ: 15.
$BC = AD - 2AH = AD - 2AB \cdot \cos \angle BAD = 25 - 20 \cdot $\frac{1}{2}$ = 15$
Ответ: 15.
Правильный ответ:
15