Математика. Профильный уровень

Последовательно получаем:

$CH = AC \sin A = AB \cos A \sin A = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 30 ^{\circ} \sin 30 ^{\circ} = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot $\frac{1}{2}$ = 1,5$ $CH = AC \sin A = AB \cos A \sin A =$
$= 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos 30 ^{\circ} \sin 30 ^{\circ} = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot $\frac{1}{2}$ = 1,5$

Ответ: 1,5.

Приведем другое решение.
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Из треугольника ABC получаем $BC = $\frac{AB}{2}$ = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Угол HCB равен углу CAB по свойству высоты прямоугольного треугольника, тогда из треугольника HCB находим $HB = $\frac{BC}{2}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ По теореме Пифагора для треугольника HCB:

$CH = $\sqrt{аргумента: BC ^2 - BH ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента ) ^2 - ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ) ^2}аргумента } = \sqrt{аргумента: 3 - $\frac{3}{4}$} аргумента = 1,5$

Выполним преобразования:

$AH = AC \cos A = AB \cos ^2 A = 2 \cos ^2 30 ^{\circ} = 2 \cdot ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ) ^2 = 1,5$

Ответ: 1,5.

Приведем другое решение.
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, $CB = $\frac{1}{2}$ AB = 1$ Углы CAB и HCB равны по свойству высоты прямоугольного треугольника. Значит, в треугольнике CHB катет HB равен половине гипотенузы CB, то есть $HB = $\frac{1}{2}$ CB = 0,5$ Таким образом, $AH = AB - HB = 2 - 0,5 = 1,5$

В треугольнике ABC катет BC лежит напротив угла в 30°, поэтому он вдвое меньше гипотенузы AB, то есть его длина равна 2. В треугольнике BHC катет BH лежит напротив угла в 30°, поэтому он вдвое меньше гипотенузы BC, то есть его длина равна 1.

Ответ: 1.

По определению \sin а:

$BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot 0,6 = 27$

Ответ: 27.

По определению \sin а получаем:

$\frac{CB}{AB} = \frac{$\sqrt{аргумента: AB ^2 - AC ^2}$ аргумента}{AB} = \frac{$\sqrt{аргумента: 100 - 91}$ аргумента}{10} = $\frac{3}{10}$ = 0,3$

Ответ: 0,3.

Треугольник АВС  — = бедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Следовательно,

$AB = 2AH = 2AC \cos A = 2AC $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента = 2 \cdot 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 10 \cdot $\frac{24}{25}$ = 9,6$ $AB = 2AH = 2AC \cos A = 2AC $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 A}$ аргумента =$
$= 2 \cdot 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 10 \cdot $\frac{24}{25}$ = 9,6$

Ответ: 9,6.

Треугольник АВС  — = бедренный, значит, высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

$AC = $\frac{AH}{\cos \angle A}$ = $\frac{AB}{2 \cos \angle A}$ = \frac{AB}{2 $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle A}$ аргумента} = \frac{9,6}{2 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7,}{25}$ ) ^2} аргумента} = $\frac{4,8 \cdot 25}{24}$ = 5$ $AC = $\frac{AH}{\cos \angle A}$ = $\frac{AB}{2 \cos \angle A}$ = \frac{AB}{2 $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle A}$ аргумента} =$
$= \frac{9,6}{2 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7,}{25}$ ) ^2} аргумента} = $\frac{4,8 \cdot 25}{24}$ = 5$

Ответ: 5.

Треугольник АВС  — = бедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

$AB = 2AH = 2AC \cos A = 2 \cdot 8 \cdot $\frac{1}{2}$ = 8$

Ответ: 8.

Приведем решение Евгения Шведова.
По условию $\cos A = 0,5$ следовательно, $\angle A = 60 ^{\circ}$ а значит, треугольник = сторонний. Следовательно, все стороны треугольника равны 8.

Треугольник АВС  — = бедренный, значит, высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

$AC = $\frac{AH}{\cos A}$ = $\frac{AB}{2 \cos A}$ = \frac{8}{2 \cdot $\frac{1,}{2}$} = 8$

Ответ: 8.

Приведем другое решение.
\cos угла A равен 0,5, значит, $\angle A = 60 ^{\circ}$ = бедренный треугольник с углом 60° является = сторонним, тогда $AC = AB = 8$

Треугольник АВС  — = бедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Следовательно,

$AB = 2AH = 2AC \cos A = 2AC \cdot \sqrt{аргумента: \frac{1}{1 + \text{tg} ^2 A}} аргумента = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{аргумента: \frac{1}{1 + $\frac{33,}{16}$}} аргумента = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{16}{49}$} аргумента = 8$ $AB = 2AH = 2AC \cos A = 2AC \cdot \sqrt{аргумента: \frac{1}{1 + \text{tg} ^2 A}} аргумента =$
$= 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{аргумента: \frac{1}{1 + $\frac{33,}{16}$}} аргумента = 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{16}{49}$} аргумента = 8$

Ответ: 8.

[рис.] Треугольник АВС  — = бедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда

$AC = $\frac{AH}{\cos A}$ = $\frac{AB}{2 \cos A}$ = \frac{AB}{2 \sqrt{аргумента: \frac{1,}{1 + \text{tg} ^2 A}} аргумента} = \frac{8}{2 \sqrt{аргумента: $\frac{16,}{49}$} аргумента} = 7$

Ответ: 7.

[рис.] Треугольник АВС  — = бедренный, поэтому углы ВАС и АВН равны как углы при его основании. Тогда

$AH = AB \sin \angle ABH = AB \sin \angle BAC = 8 \cdot $\frac{1}{2}$ = 4$

Ответ: 4.

[рис.] Треугольник ABC  — = бедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Следовательно,

$BH = AB \cos \angle ABH = AB \cos \angle BAC =$
$= AB $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle BAC}$ аргумента = 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$ $BH = AB \cos \angle ABH = AB \cos \angle BAC =$
$= AB $\sqrt{аргумента: 1 - \sin ^2 \angle BAC}$ аргумента =$
$= 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$

Ответ: 4,8.

[рис.] Треугольник ABC  — = бедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда

$AH = AB \sin \angle ABH = AB \sin \angle BAC =$
$= AB $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 \angle BAC}$ аргумента = 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$ $AH = AB \sin \angle ABH = AB \sin \angle BAC =$
$= AB $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 \angle BAC}$ аргумента =$
$= 5 \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{7}{25}$ ) ^2} аргумента = 5 \cdot $\frac{24}{25}$ = 4,8$

Ответ: 4,8.

Треугольник ABC  — = бедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда

$BH = AB \cos \angle ABH = AB \cos \angle BAC = 4$

Ответ: 4.

Приведем решение Евгения Шведова.
По условию $\cos BAC = 0,5$ значит, $\angle BAC = 60 ^{\circ}$ и треугольник ABC  — = сторонний. Тогда отрезок AH является и высотой, и медианой, а потому делит сторону, к которой проведен, пополам. Следовательно, $BH = 4$