Математика. Профильный уровень

Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому

$AB= $\frac{CB}{\sin \angle A}$ = \frac{$\frac{HB}{\sin \angle HCB}$ ,}{\sin \angle A} = $\frac{HB}{\sin ^2 A}$ = $\frac{12 \cdot 9}{4}$ =27$

Ответ: 27.

Углы A и HCB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами,

$AB= $\frac{AC ^2}{AH}$ = \frac{( $\frac{AH}{\cos A}$ ) ^2 ,}{AH} = $\frac{AH}{\cos ^2 A}$ = $\frac{12 \cdot 9}{4}$ =27$

Ответ: 27.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. По теореме Пифагора a2  =  100 − 36  =  64, a  =  8, где a  — второй катет. Поэтому

$S= $\frac{1}{2}$ \cdot 6 \cdot 8=24$

Ответ: 24.

Пусть x  — меньший катет, тогда x + 2  — больший. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$\frac{1}{2} x ( x + 2 ) =24 = сильно x ( x + 2 ) =48 = сильно x ^2 + 2x - 48=0 = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x=6 \\[6pt] новая строка x= - 8 \end{cases}$$ . новая строка x больше 0 \end{array} \right. . = сильно x=6$ $\frac{1}{2} x ( x + 2 ) =24 = сильно x ( x + 2 ) =48 = сильно$
$ = сильно x ^2 + 2x - 48=0 = сильно $$\begin{cases} новая строка \left[ \begin{array}{l} новая строка x=6 \\[6pt] новая строка x= - 8 \end{cases}$$ . новая строка x больше 0 \end{array} \right. . = сильно x=6$

Ответ: 6.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а их разность по условию равна 32°, получаем систему уравнений:

$$$\begin{cases} новая строка \angle A - \angle B=32 ^{\circ} \\[6pt] новая строка \angle A + \angle B=90 ^{\circ} \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} новая строка \angle A=61 ^{\circ} \\[6pt] новая строка \angle B=29 ^{\circ}. \end{cases}$$$

Ответ: 61.

Пусть x  — меньший острый угол прямоугольного треугольника, тогда больший острый угол будет равен $4x$ Имеем: $x + 4x=90 ^{\circ}$ Поэтому x  =  18°. Значит, больший острый угол равен $4x=4 \cdot 18 ^{\circ} =72 ^{\circ}$

Ответ: 72.

CD  — медиана в прямоугольном треугольнике, значит, CD  =  AD  =  BD. Тогда треугольник ACD  — = бедренный, углы при его основании равны.

$\angle ACD=\angle A=90 ^{\circ} - 58 ^{\circ} =32 ^{\circ}$

Ответ: 32.

Под углом пересечения прямых понимается меньший угол, который они образуют. Найдем угол АОЕ  — внешний угол треугольника АОС. Получаем:

$\angle AOE= $\frac{1}{2}$ ( \angle C + \angle A ) = \frac{90 ^{\circ}}{2} + \frac{32 ^{\circ}}{2} =61 ^{\circ}$

Ответ: 61.

По рисунку, используя свойство смежных углов и теорему о сумме углов треугольника, находим:

$\angle BOD = 180 ^{\circ} - \angle BOA = 180 ^{\circ} - ( 180 ^{\circ} - $\frac{1}{2}$ ( \angle A + \angle B ) ) = \frac{90 ^{\circ}}{2} = 45 ^{\circ}$

Ответ: 45.

Имеем:

$\angle DCH=\angle C - \angle ACD - \angle BCH=\angle C - $\frac{\angle C}{2}$ - ( 90 ^{\circ} - \angle B ) =$
$=90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - 61 ^{\circ} ) =90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - 29 ^{\circ} =16 ^{\circ}$ $\angle DCH=\angle C - \angle ACD - \angle BCH=$
$=\angle C - $\frac{\angle C}{2}$ - ( 90 ^{\circ} - \angle B ) =90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - 61 ^{\circ} ) =$
$=90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - 29 ^{\circ} =16 ^{\circ}$ $\angle DCH=\angle C - \angle ACD - \angle BCH=$
$=\angle C - $\frac{\angle C}{2}$ - ( 90 ^{\circ} - \angle B ) =$
$=90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - 61 ^{\circ} ) =$
$=90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - 29 ^{\circ} =16 ^{\circ}$

Ответ: 16.

Меньшим будет угол A, так как угол ACH в прямоугольном треугольнике ACH очевидно больше, чем угол HCB в прямоугольном треугольнике HCB. Рассмотрим треугольник ACH.

$\angle A=90 ^{\circ} - \angle ACH=90 ^{\circ} - ( \angle ACD + \angle DCH ) =90 ^{\circ} - ( 45 ^{\circ} + 21 ^{\circ} ) =24 ^{\circ}$ $\angle A=90 ^{\circ} - \angle ACH=90 ^{\circ} - ( \angle ACD + \angle DCH ) =$
$=90 ^{\circ} - ( 45 ^{\circ} + 21 ^{\circ} ) =24 ^{\circ}$

Ответ: 24.

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине, поэтому $AM = MC$ Следовательно, углы A и ACM равны как углы при основании = бедренного треугольника АМС. Основание высоты ближе к вершине большего острого угла. Имеем:

$\angle MCH = \angle C - \angle ACM - \angle BCH = 90 ^{\circ} - 24 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - 66 ^{\circ} ) = 66 ^{\circ} - 24 ^{\circ} = 42 ^{\circ}$ $\angle MCH = \angle C - \angle ACM - \angle BCH =$
$= 90 ^{\circ} - 24 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - 66 ^{\circ} ) = 66 ^{\circ} - 24 ^{\circ} = 42 ^{\circ}$

Ответ: 42.

В прямоугольном треугольнике CHM угол C равен 40°, поэтому угол M равен 50°. Треугольник АСВ прямоугольный, CM  — медиана, опущенная из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, следовательно, CM  =  MB, и углы B и MCB равны как углы при основании = бедренного треугольника. Тогда:

$\angle B= \frac{180 ^{\circ} - \angle CMB}{2} = \frac{180 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - \angle MCH )}{2} = \frac{180 ^{\circ} - 50 ^{\circ}}{2} =65 ^{\circ}$

Ответ: 65.

Отрезок CM  — медиана, поэтому AM  =  MC (свойство медианы в прямоугольном треугольнике). Тогда углы A и ACM равны как углы при основании = бедренного треугольника. Имеем:

$\angle MCD=\angle C - $\frac{\angle C}{2}$ - \angle ACM= $\frac{\angle C}{2}$ - \angle A=45 ^{\circ} - 24 ^{\circ} =21 ^{\circ}$

Ответ: 21.

Так как CM  — медиана, то AM  =  MC (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы A и ACM равны как углы при основании = бедренного треугольника:

$\angle A=\angle ACM=\angle C - \angle BCD - \angle MCD=90 ^{\circ} - 45 ^{\circ} - 14 ^{\circ} =31 ^{\circ}$

Ответ: 31.