Математика. Профильный уровень

[рис.] Треугольник является тупоугольным, поскольку половина одного из его углов по условию равна 66°. Следовательно, этот угол равен 132°. Получаем:

$\angle AOC = \angle AOH = 180 ^{\circ} - \angle OHA - \angle HAO = 180 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - \angle BAD = 90 ^{\circ} - 66 ^{\circ} = 24 ^{\circ}$ $\angle AOC = \angle AOH = 180 ^{\circ} - \angle OHA - \angle HAO =$
$= 180 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - \angle BAD = 90 ^{\circ} - 66 ^{\circ} = 24 ^{\circ}$

Ответ: 24.

[рис.] Рассмотрим два случая.
1.  Средняя линия DE параллельна стороне AB.
Треугольник ABC подобен треугольнику DEC с коэффициентом 2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_ABC = 2 ^2 \cdot 38 = 152$

[рис.]
2.  Средняя линия DE не параллельна стороне AB. Пусть для определённости точка D  — середина стороны AC. Тогда отрезок DE  — медиана треугольника ACE, и площади треугольников CDE и AED равны. Отрезок CE  — медиана треугольника ABC, и площади треугольников CBE и ACE равны. Следовательно,

$S_ABC = S_AEC + S_CBE = S_CDE + S_ADE + S_CBE = 4S_CDE = 4 \cdot 38 = 152$

Ответ: 152.

-------
Задача исключена из открытого банка.

[рис.] Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

$S_CDE = $\frac{1}{4}$ \cdot 10 = 2,5$

Следовательно, $S_трап = S_ABC - S_CDE = 10 - 2,5 = 7,5$

Ответ: 7,5.

Cумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°. Следовательно,

$\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle ADO - \angle OEA - \angle A = 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 46 ^{\circ} = 134 ^{\circ}$ $\angle DOE = 360 ^{\circ} - \angle ADO - \angle OEA - \angle A =$
$= 360 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 90 ^{\circ} - 46 ^{\circ} = 134 ^{\circ}$

Ответ: 134.

Угол между прямыми равен углу между перпендикулярами к ним, поэтому

$\angle DOE = \angle CAE = 180 ^{\circ} - \angle CAB = 45 ^{\circ}$

Ответ: 45.

Выразим величину угла B из формулы площади треугольника:

$S = $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B = сильно $\frac{1}{2}$ \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \angle B = 7,5 = сильно \sin \angle B = $\frac{1}{2}$ = сильно \angle B = 150 ^{\circ}$ $S = $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle B = сильно $\frac{1}{2}$ \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \angle B = 7,5 = сильно$
$ = сильно \sin \angle B = $\frac{1}{2}$ = сильно \angle B = 150 ^{\circ}$

Ответ: 150.

Примечание.
Значение \sin а, = е  $\frac{1}{2}$ соответствует острому углу в 30° и тупому углу в 150°. По условию угол B тупой, поэтому он равен 150°.

Приведем решение Антонио Белотти.
Проведем высоту AH к продолжению стороны BC. Найдем AH из формулы площади треугольника:

$S = $\frac{1}{2}$ \cdot BC \cdot AH = сильно AH = \frac{S}{$\frac{1,}{2}$ BC} = \frac{7,5}{$\frac{1,}{2}$ \cdot 6} = 2,5$

В прямоугольном треугольнике AHB катет AH равен половине гипотенузы AB. Следовательно, угол ABH равен 30°. Тогда смежный с ним угол ABC равен 150°.

Луч AD  — биссектриса, поэтому $\angle CAB = 2 \angle BAD = 58 ^{\circ}$ Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно,

$\angle ABD = 180 ^{\circ} - \angle CAB - \angle ACB = 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} - 55 ^{\circ} = 67 ^{\circ}$

Ответ: 67.

Большая высота проведена к меньшей стороне. Имеем:

$DH = AD \sin A = 21 \cdot $\frac{6}{7}$ = 3 \cdot 6 = 18$

Ответ: 18.

Приведем примечание Дмитрия Д.
Заметим, что точка H лежит на продолжении стороны AB параллелограмма. В самом деле, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADH получаем:

$AH = $\sqrt{аргумента: AD ^2 - DH ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 441 - 324}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 117}$ аргумента больше 3$

Расположение точки H на рисунке не влияет на правильность решения, задачу можно решить вовсе без рисунка.

Приведём решение Марселя Давыдова (Абакан).
Найдём площадь параллелограмма:

$S = ab \sin A = 3 \cdot 21 \cdot $\frac{6}{7}$ = 54$

Чтобы найти высоту, воспользуемся другой формулой для нахождения площади: $S = ah$ откуда

$h = $\frac{S}{a}$ = $\frac{54}{3}$ = 18$

Площадь квадрата равна половине произведения длин его диагоналей, поэтому она равна 0,5.

Ответ: 0,5.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна  $a + 3$ Следовательно, $S = a \cdot ( a + 3 ) = 18$ откуда $a ^2 + 3a - 18 = 0$ Решая квадратное уравнение, находим $a = 3$ Таким образом, большая сторона равна 6.

Ответ: 6.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, тогда вторая равна 2a. Площадь прямоугольника будет соответственно равна $S = 2a ^2 = 18$ откуда $a = 3$ и $2a = 6$ Следовательно, $P = 2 \cdot ( 3 + 6 ) = 18$

Ответ: 18.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Площадь и периметр прямоугольника будут соответственно равны $S = ab = 98$ и $P = 2 ( a + b ) = 42$ Последовательно получаем:

$$$\begin{cases} ab = 98 \\[6pt] a + b = 21 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a ( 21 - a ) = 98 \\[6pt] b = 21 - a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a ^2 - 21a + 98 = 0 \\[6pt] b = 21 - a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( a - 7 ) ( a - 14 ) = 0 \\[6pt] b = 21 - a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a = 7 \\[6pt] a = 14 \end{cases}$$ . b = 21 - a \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 7 \\[6pt] b = 14 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 14 \\[6pt] b = 7. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} ab = 98 \\[6pt] a + b = 21 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a ( 21 - a ) = 98 \\[6pt] b = 21 - a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a ^2 - 21a + 98 = 0 \\[6pt] b = 21 - a \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( a - 7 ) ( a - 14 ) = 0 \\[6pt] b = 21 - a \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} a = 7 \\[6pt] a = 14 \end{cases}$$ . b = 21 - a \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 7 \\[6pt] b = 14 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 14 \\[6pt] b = 7. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Следовательно, большая сторона равна 14.

Ответ: 14.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Периметр прямоугольника равен $P = 2 ( a + b ) = 28$ Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора $a ^2 + b ^2 = 100$ Последовательно получаем:

$$$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] a ^2 + b ^2 = 100 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] ( a + b ) ^2 - a ^2 - b ^2 = 96 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] 2ab = 96 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] ab = 48. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] a ^2 + b ^2 = 100 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] ( a + b ) ^2 - a ^2 - b ^2 = 96 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] 2ab = 96 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a + b = 14 \\[6pt] ab = 48. \end{cases}$$$

Таким образом, $S = ab = 48$

Ответ: 48.

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Пусть длины сторон равны a и b. Следовательно, периметр и площадь прямоугольника соответственно равны $P = 2 ( a + b ) = 34$ и $S = ab = 60$ Решим систему:

$$$\begin{cases} a + b = 17 \\[6pt] ab = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] 17b - b ^2 = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] b ^2 - 17b + 60 = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] ( b - 5 ) ( b - 12 ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} b = 5 \\[6pt] b = 12 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 12 \\[6pt] b = 5 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 5 \\[6pt] b = 12. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} a + b = 17 \\[6pt] ab = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] 17b - b ^2 = 60 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] b ^2 - 17b + 60 = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] ( b - 5 ) ( b - 12 ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} b = 5 \\[6pt] b = 12 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 12 \\[6pt] b = 5 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 5 \\[6pt] b = 12. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Таким образом, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.
Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора находим:

$c = $\sqrt{аргумента: 5 ^2 + 12 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 144}$ аргумента = 13$

Ответ: 13.

Примечание 1.
Можно заметить, что система уравнений $a + b = 17$ $ab = 60$ является системой Виета. Следовательно, ее решения  — корни квадратного уравнения $t ^2 - 17t + 60 = 0$ откуда $t = 5$ и $t = 12$

Примечание 2.
Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,

$c ^2 = a ^2 + b ^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab = 17 ^2 - 2 \cdot 60 = 169 = 289 - 120 = 169$

откуда $c = 13$

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на \sin угла между ними. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна сторона параллелограмма и прямоугольника равна a, вторая равна b, а острый угол параллелограмма равен α. Следовательно, площадь параллелограмма равна $S_1 = a \cdot b \cdot \sin альфа$ а площадь прямоугольника равна $S_2 = a \cdot b$ По условию площадь прямоугольника вдвое больше: $S_2 = 2S_1$ Таким образом,

$a \cdot b = 2 \cdot a \cdot b \cdot \sin альфа = сильно \sin альфа = 0,5 = сильно альфа = 30 ^{\circ}$

Ответ: 30.